電波航法と軌道決定

第1.1章二体問題と軌道要素

1.1.1 二体問題 — 6個の数がすべてを決める

質点が中心天体（重力定数 μ = GM）だけから力を受けるとき、運動方程式は

この解は円錐曲線（円・楕円・放物線・双曲線）になる。 重要なのは解の形そのものより、この方程式が2階・3成分であるという事実である。 初期条件として位置 r₀ と速度 v₀ の6成分を与えれば、軌道は一意に決まる。 軌道決定の未知数が最低6個なのは、ここから来ている。

出典：IAU/IERS技術ノートおよびJPL DE系惑星暦の公開定数。 μ は天体質量そのものより高精度に決まっている（質量はGの不確かさを引きずるが、μ は軌道観測から直接決まる）。 実務ではμを使い、Gと質量に分解しないこと。

1.1.2 軌道要素 — 同じ6個の数の「意味のある」表現

状態ベクトル (r, v) は計算に便利だが、軌道の形が読めない。 そこで同じ情報を軌道6要素に詰め替える：

(r,v) → 要素の変換は、角運動量 h = r×v、 離心率ベクトル e = (v×h)/μ − r/r、 エネルギー ε = v²/2 − μ/r = −μ/2a の3つを計算すれば芋づる式に出る。 逆変換（要素 → r,v）は軌道面内で位置・速度を書いてから3回転（Ω, i, ω）で慣性系へ戻す。 どちらの向きも一度は手で書き下しておくべきで、章末演習1がそれである。

1.1.3 ケプラー方程式 — 時刻と位置をつなぐ

楕円軌道上の位置と時刻の関係は、平均近点角 M（時間に比例）と離心近点角 E を結ぶ

で与えられる。E から真近点角 ν へは tan(ν/2) = √((1+e)/(1−e))·tan(E/2)。 この方程式は E について陰なので数値的に解く。ニュートン法

で通常は数回で収束するが、e が1に近い（0.9超の）楕円では初期値が悪いと発散・遅収束する。 深宇宙では捕獲直後の長楕円軌道などで実際に踏む領域なので、 初期値の工夫（E₀ = M + e·sinM など）と反復上限・収束判定を必ず入れる。章末演習2で体感してほしい。

1.1.4 双曲線軌道 — 惑星間ではこちらが主役

惑星の重力圏を脱出・通過する軌道は e > 1 の双曲線である。楕円との対応は：

スイングバイ・惑星到着の航法目標は「双曲線のどこを通るか」であり、 その自然な言語が漸近線基準のB平面座標（第5.3章）である。 V∞ はミッション設計と航法をつなぐ最重要量で、 打上げエネルギー C3 = V∞² として公表される値がそれである。

1.1.5 RTN — 誤差を語るための座標系

RTN成分で覚えておくべき力学の性質を一つ：T方向（進行方向）の小さな速度誤差は、 周期の変化を通じて沿道方向の位置誤差として時間とともに線形〜二次で成長する。 同じ大きさの誤差でも、R・N方向は振動的に留まる。 「軌道決定の誤差はまずT方向から漏れる」という感覚は、 データアーク設計（第4.5章）や予測精度（第5.4章）の議論で繰り返し使う。

第1.2章摂動と数値積分 — 現実の軌道は閉じない

1.2.1 摂動つき運動方程式と、その桁

各項の中身は第1.3〜1.6章で扱う。まず全体の桁を掴む。

1.2.2 コーウェル法とエンケ法

倍精度演算と可変刻みが当たり前になった現在、実務はほぼコーウェル法である。 エンケ法の発想は、しかし死んでいない — 「大きな既知部分を引き算してから扱う」は、 観測方程式の残差化（第4.1章の線形化）と同じ思想であり、 数値のスケーリングという形で至る所に生きている。

1.2.3 変分方程式 — 推定への接続部

軌道決定は「初期状態を少し動かすと、後の時刻の状態がどう動くか」を必要とする（第2.7章・第4部）。 これを与えるのが状態遷移行列 Φ(t, t₀) = ∂x(t)/∂x(t₀) であり、変分方程式

を軌道と同時に積分して得る。A(t) の主要部は重力勾配 ∂g/∂r（3×3）である。 推定パラメータ（SRP係数など）への感度も同じ形の方程式（センシティビティ行列）で運ぶ。

1.2.4 積分器の選択

選択より大事なのは検算の習慣である。 ①許容誤差を1桁変えて解が動かないこと、 ②往復積分（tまで進めてt₀へ戻す）で初期値が回復すること、 ③エネルギー・角運動量など保存量のドリフト監視（保存力場の区間で）。 この3点で積分誤差はモデル誤差から分離できる。 「残差が合わない」ときに積分を疑えるかどうかは、この検算を仕込んであるかで決まる。

1.2.5 刻み幅と特異な区間

可変刻みは万能ではない。実務で刻みが暴れる（＝精度が落ちる）典型区間を挙げる： 近点通過（加速度が急変 — 長楕円で顕著）、影の出入り（SRPが不連続 — 第1.5章）、 マヌーバ（有限噴射 — 第5.2章）、スイングバイ近傍（第三体項が急成長 — 第1.4章）。 対処は共通で、不連続点を積分の区切りに一致させる（イベント検出して刻みを切る）こと。 不連続を跨いで高次積分器を使うのは、高級カメラでピンボケを撮るようなものである。

第1.3章重力場 — 球面調和展開と観測感度

1.3.1 球面調和展開

天体外部の重力ポテンシャルは、球面調和関数で展開できる：

R は基準半径、C̄・S̄ がStokes係数（正規化済み）で、これが「重力場モデル」の中身である。 直観的な対応：n=2, m=0（いわゆるJ₂ = −C̄₂₀の非正規化版）が扁平、 n=2, m=2 が赤道の楕円さ、次数が上がるほど細かい凹凸を表す。 係数の呼び方には正規化の流儀があるので、モデルを使うときは正規化規約を必ず確認する。

出典：公開重力場モデルの例 — 地球はEGM2008/GOCE系（数千次まで公開）、 月はGRAIL計画によるGRGM系（1000次超）、火星はMROなどの追跡データによるMRO120系。 いずれも係数ファイルが公開されており、実装にそのまま読み込める（付録C）。 月・火星の高次場が「探査機のドップラ追跡」だけから決まったという事実は、 本書の第2〜4部の技術が科学を生む実例である。

1.3.2 何次まで要るか — (R/r)ⁿ がすべてを決める

展開の各次数は距離とともに (R/r)ⁿ で減衰する。これが本章の中心式である。 高度 h の円軌道（r = R+h）で、n次項の相対寄与は概ね (R/(R+h))ⁿ に比例する：

1.3.3 重力場誤差が軌道予測へ伝わる経路

係数の誤差 δC̄ₙₘ は毎周回同じ場所で同じ向きに効くため、 軌道に共鳴的・累積的な誤差を作る。とくに：

• 沿道方向に累積 — 周期の誤差として効き、T方向誤差（第1.1章）が周回数に比例して育つ
• 特定の次数と共鳴 — 軌道周期と天体自転の整数比に近いとき、特定の (n,m) 項が増幅される
• 予測で顕在化 — データアーク内では観測が押さえ込むが、 アークを出た瞬間からモデル誤差として成長する（第5.4章の予測劣化の主因）

推定側の対処は三つ：①十分な次数まで入れる、②不確かさを consider parameter として 共分散に伝える（第4.6章）、③いっそ係数自体を推定する（次節）。

図1.3-2　これが「重力場を決める」ことの成果物である。 GRAIL探査機の追跡データ（＝本書第2〜4部の道具そのもの）から推定された重力場をもとに作られた、 月の地殻厚の全球マップ。左が表側、右が裏側。 カラーバーは地殻厚0〜60 km で、青ほど薄く赤ほど厚い。裏側（右）が全体に厚く、表側（左）の海が薄いという非対称が一目で読める。 画像: NASA/JPL-Caltech/S. Miljkovic（NASA Image Library, PIA17674）。
ドップラで測った位相のゆらぎが、天体の中身の地図になる — 次節と第6.5章で扱う「決める側に回る」の到達点を、先に見せておく。

1.3.4 決める側に回る — 重力科学への入口

③を突き詰めたものが重力場推定である。 探査機を「重力場のテスト質量」、ドップラを「加速度センサの読み」と見なし、 Stokes係数を状態ベクトルに加えて推定する（第4.2章のバッチ推定の拡張）。 月の裏側の質量集中（マスコン）も、火星の内部構造も、この方法で測られた。 軌道決定と重力科学は同じ数学の表と裏であり、 違いは「係数を誤差源と見るか、観測対象と見るか」だけである。 本格的な話は第6.5章（電波科学）で扱う。

第1.4章第三体摂動と惑星暦

1.4.1 第三体加速度 — 間接項を忘れるな

中心天体（太陽）を原点とする座標系で、第三体（質量パラメータ μ₃、位置 r₃）が 探査機（位置 r）に与える摂動加速度は

第1項は探査機が引かれる直接項、第2項は「原点（太陽）も第三体に引かれて動いている」 ことを補正する間接項である。座標系が非慣性であることの代償であり、 間接項を落とすのは初学者の定番の誤りである。 遠方の第三体では両項がほぼ打ち消し合い、差（潮汐項）だけが残る — 数値的にも近い数の引き算になるので、桁落ちに注意して実装する。

1.4.2 影響圏とパッチドコニック — 設計の言葉、航法では使わない

ミッション設計の初期検討では、空間を「どの天体が支配するか」で分割し （影響圏 SOI：半径 ≈ a(m/M)^{2/5}）、各区間を二体問題で近似して繋ぐ パッチドコニック法が使われる。地球のSOIは約92万km、火星は約58万kmである。

本書の立場でははっきり言っておく：これは設計の見積り道具であり、軌道決定では使わない。 精密軌道決定は常に全天体の摂動を同時に入れた数値積分（第1.2章）で行う。 SOIの外だから地球を無視してよい、ということは全くない — 図1.4-1が示すとおり、 摂動は境界で消えるのではなく連続的に減るだけである。

1.4.3 惑星暦 — DE系の中身と精度

第三体項の r₃(t) を与えるのが惑星暦である。実務の標準はJPLのDE系 （現行世代はDE440/DE441）で、欧州のINPOP、ロシアのEPMも同格の公開暦である。

出典（公開情報）：DE440はJPLが公開する惑星・月暦で、 レーダ測距・探査機追跡・月レーザ測距・VLBIなど数十年分の観測から最小二乗推定で構築される。 内惑星の位置精度はkm級以下（火星は探査機追跡のおかげでとくに良い）、 外惑星は周回探査機の有無で精度が大きく異なる。 チェビシェフ多項式の係数列として配布され、任意時刻の位置・速度を高速に補間評価できる。 DE441は長期間版（約±13,000年）である。（JPL公開文書・付録C）

使う側として押さえるべきは三点： ①暦の時刻引数はTDB（第3.5章 — TTと最大1.7 ms周期差）、 ②暦と一緒に整合した定数セット（μ・AUなど）を使う（暦だけ差し替えて定数を残すと不整合）、 ③暦の誤差は自分の軌道解の誤差になる — 火星接近航法の最終精度が暦の火星位置精度を超えられないのは当然で、 だから接近フェーズでは天体相対の観測（光学航法 — 第2.5章）が要る。

1.4.4 SPICE — 暦を配る事実上の標準

NASA/NAIFのSPICEは、暦・姿勢・時刻・座標系変換を統一的に扱う公開ツールキットで、 深宇宙実務の共通言語である。最低限の語彙：

SPICEを使う利点は計算の再現性である — 同じカーネルセットを指定すれば誰でも同じ数値が出る。 逆に言えば、結果の交換にはカーネルの版の交換が必須である。 「同じDE440のはずなのに合わない」の多くは、LSKの版差や定数の不整合による（第5.5章のメタデータ問題と同型）。

1.4.5 一貫性 — 暦・定数・座標系はセットで一つ

本章の結論を一般化しておく。暦・質量定数・基準座標系（第2.6章）・時系（第3.5章）は 一体で推定された一貫系であり、部分だけ差し替えることはできない。 モデル更新のたびに「セットで揃っているか」を確認する — チェックリストにするなら：暦の版／定数ファイルの版／うるう秒ファイルの版／座標系実現の版、の4点である。

第1.5章太陽輻射圧と熱的加速度 — 非重力力の本丸

1.5.1 SRPの物理 — 光は押す

太陽定数 G☉ ≈ 1361 W/m²（1 auでの公開値）の光が面に当たると、 光子の運動量流束 P☉ = G☉/c ≈ 4.54×10⁻⁶ N/m² の圧力が働く。 面積A・質量mの機体に対する加速度の基本形は

C_r は反射特性をまとめた係数（1〜2弱）、ŝ は太陽方向。桁を入れると、 A/m = 0.02 m²/kg（中型探査機の典型）・C_r=1.3 で a ≈ 1.2×10⁻⁷ m/s² ＝ 10⁻¹⁰ km/s²級（1 au）。 重力（太陽二体項 6×10⁻³ m/s²）の5桁下だが、効き方が違う — 常に太陽と反対向きに押し続けるため誤差が積分で育つ。 仮にモデルを1%外せば残差加速度は1.2×10⁻⁹ m/s²、 等加速度で1年積もれば Δx = at²/2 ≈ 600 km。 ドップラは0.1 mm/s級の速度変化を見るから（第2.3章）、 SRPのモデル誤差は数%どころか1%でも残差にはっきり現れる。

反射の内訳で力の向きが変わる：吸収は太陽方向の力のみ、 鏡面反射は面法線方向に2倍効き、拡散反射は法線方向に2/3が加わる。 面ごとの光学係数（吸収率・鏡面率・拡散率）が要る理由である。

1.5.2 箱翼モデル — 実機を6+2枚の板に潰す

1.5.3 姿勢との結合 — 姿勢誤差は軌道誤差になる

箱翼モデルの入力は姿勢である。太陽電池翼は太陽を向くが機体は通信・観測で向きを変え、 面ごとの照射は姿勢履歴で決まる。ここから重要な帰結が出る：

• 姿勢テレメトリは軌道決定の入力データである。姿勢の記録が粗いミッションは、その分SRPモデルが粗くなる
• 姿勢モード変更・大角度スルーは加速度の不連続として現れる（第1.2章：積分の区切り）
• 推定側から見ると、SRP係数の誤差と姿勢の系統誤差は縮退しやすい — 分離には長いアークと幾何の変化が要る

1.5.4 熱輻射とアンテナ反力 — 機体自身が押す

機体が放つものにも反動がある。放射パワー P の指向性放射は F = P/c の反力を生む。

P_tx = 80 W、m = 600 kg なら a = 80/(600×3×10⁸) ≈ 4.4×10⁻¹⁰ m/s² — SRPの1/300ほどだが、向きが常に一定（アンテナ指向の逆）で積分が効く — 等加速度で1年なら約220 kmに相当する（章末演習）。 向きは既知（アンテナ指向の逆）なので、モデル化すれば消せる。 同様に、機体各面の温度差による熱輻射の非対称（RTGや放熱面の配置）も定常加速度を生む。

公開事例：パイオニア10/11号の追跡データに現れた微小加速度（約8.7×10⁻¹⁰ m/s²、 いわゆるパイオニア・アノマリー）は、長年の解析の末、 RTGと機器の熱輻射の非対称でほぼ説明できることが示された（2010年代の再解析、公開文献）。 「未知の物理」に見えたものの正体が熱設計だった — 非重力力のモデル化が航法と基礎物理の両方にとってどれほど重いかを示す、最良の教材である。

1.5.5 読めない加速度 — 脱ガス・リーク・運用イベント

打上げ直後の材料からの脱ガス、推進系バルブの微小リーク、 姿勢制御スラスタ噴射の非対称（オフモジュレーション）、モーメンタムホイールのアンローディング。 これらは事前モデルが原理的に書けない加速度である。実務の扱いは：

1. 運用イベント（アンローディング等）は時刻つきの小さなΔVとして推定する（第5.2章）
2. ゆっくり変わる成分は経験的加速度（区分定数・一次のRTN成分など）として状態に加える
3. それでも残る不規則成分は確率過程（SNC/DMC — 第4.7章）としてフィルタに吸わせる

この三段構えは「決定論的に書けるものはモデルへ、書けないものは統計へ」という 本書後半の中心思想の最初の実例である。

第1.6章小天体近傍の力学と大気抵抗

1.6.1 不規則重力 — 球面調和が使えなくなる場所

球面調和展開（第1.3章）はブリュアン球（天体を囲む最小の球）の外側でしか収束が保証されない。 ジャガイモ形の小天体の「くびれ」の近くはこの球の内側であり、 展開は発散しうる。近傍運用では別の表現に切り替える：

形状モデル自体は接近後の光学観測（第2.5章）から作られる。 つまり重力モデルの精度が観測の進行とともに育つ — 「まず遠くから測って形を作り、近づいて重力を測り、さらに近づく」という 段階的接近（第6.1章）の力学的な根拠がここにある。

1.6.2 重力とSRPの逆転 — 桁の感覚

半径 R_a・密度 ρ_a の小天体の表面重力は g ≈ (4/3)πGρ_a R_a。 距離 d での重力加速度と、SRP加速度（第1.5章の10⁻⁷ m/s²級・1 au）を比べると：

この例では d ≈ 20 km で両者が同格になる。 すなわちホームポジション級の距離では、SRPは重力と互角の「主要力」であり、 摂動どころか軌道の存在自体を左右する。 SRPに逆らって留まるには燃料を使い続けるか、力学の助けを借りる — それが次の二つの選択肢である。

1.6.3 近傍に「居る」ための二つの解

• ホバリング（はやぶさ型） — 周回せず、太陽–天体線上の平衡的な位置に スラスタ制御で滞在する。力学的には不安定だが、制御と航法（高度計・光学 — 第6.1章）で保つ。 小さく不規則な天体ほどこちらが有利
• 準衛星軌道 QSO（MMX型） — 天体を「周回」するのではなく、 天体の公転軌道のすぐ内外を並走しながら、相対座標で見ると天体を回る共回転系の安定軌道に乗る。 フォボスのように母惑星（火星）の重力が支配する環境で有効で、 燃料をほぼ使わず近傍に留まれる。第6.2章のMMXがこの実戦である

1.6.4 大気抵抗 — 最も不確かなモデルと付き合う

低高度の惑星周回では抵抗加速度が入る：

C_d（抵抗係数、自由分子流で2前後）と密度 ρ が問題である。 とくに ρ は、太陽活動・地方時・季節で数十%〜倍半分で変わる。 火星では大気波動・ダストストームでさらに読めない。 実務の相場観として：

• 密度モデルの誤差は系統的かつ時間相関を持つ — 白色雑音ではない（第4.7章のDMC向きの誤差）
• 抵抗は常にv_relの逆向き（散逸）なので、沿道方向に単調に積もる — T方向誤差の典型源
• エアロブレーキング運用では毎周回の実測減速から密度を推定して次周回を予測する — モデルを信じず、測って更新するループで運用する

1.6.5 「弱い力学」の航法原則

本章の二領域に共通する実務原則をまとめる。第6部の事例を読む前提になる。

1. 軌道は設計で守る — モデル精度で殴り合わず、不確かさに強い軌道（QSO・ターミネータ軌道・ ホバリング）を選ぶ。航法の仕事の半分はミッション設計の段階にある
2. 観測は天体相対へ — 地球からの電波観測（絶対）だけでは足りず、 光学・高度計・地形相対（第2.5章）で天体相対の状態を直接測る
3. モデルは飛びながら育てる — 形状→重力→密度と、観測でモデルを更新し続ける。 「最初から正しいモデル」は存在しない前提で推定系を組む（第4.7章）

第2.1章観測量の全体像 — 何を測ると何が決まるか

2.1.1 観測方程式と残差 — 本書の中心概念

どんな観測量も、次の形に書ける：

y が実測値、h が「状態 x がこうなら観測はこうなるはず」というモデル計算値、 ε が誤差である。軌道決定の全作業は 残差 y − h(x̂) を白色雑音らしくなるまで小さくすることに帰着する。 残差に構造（バイアス・傾き・周期）が残っていれば、 それは状態の誤りか、h のモデル（第1部・第3部）の誤りか、データの異常（第4.9章）である。 残差は捨てるゴミではなく、読む対象である — 本書で最も繰り返すことになる態度をここで宣言しておく。

2.1.2 三つの幾何 — 距離・距離変化率・角度

2.1.3 相補性 — なぜ組み合わせるのか

表の「拘束する方向」を見れば、単独の観測量では6自由度が埋まらないことが分かる。 実務の組合せの論理：

• ドップラが主食 — 連続的に取れて安く、視線方向を細かく拘束する。 地球自転が作る日周署名から赤経・赤緯も間接的に決まる（第2.3章）。 だが幾何の悪い時期（黄道面近くの探査機など）には横方向の縮退が起きる
• レンジが物差し — 1点で絶対距離を確定する（第5.1章の「1点で効く」）。 ドップラの積分定数を留める役
• ΔDORが横綱 — 縮退した横方向を幾何的に直接叩く。会合前・投入前の決め所で使う（第5.1章）
• 光学は天体相対 — 暦誤差（第1.4章）を回避して目標相対の状態を測る。接近・近傍の主役

この分担は第5.1章（いつ何を取るか）の設計原理そのものであり、 第4.8章（可観測性）で数学として裏付けられる。

2.1.4 精度の読み方 — 「観測精度」は一つの数ではない

表の精度の数字はランダム誤差（雑音）の目安であり、実効精度は三層で決まる：

1. 雑音 — S/Nと積分時間で決まるばらつき（各論の精度式）
2. 系統誤差 — 媒質・機器遅延・時計（第3部）。較正残差が実効精度を決めることが多い
3. モデル整合 — h(x) 側の力学・幾何モデル誤差（第1部）。観測がいくら良くても h が粗ければ残差は落ちない

「レンジ精度1 m」という言明は、①だけなら簡単、②込みだと較正の腕前（第5.6章）、 ③込みだと軌道決定システム全体の実力を意味する。 誤差予算（第3.6章）はこの三層を一枚の表に並べる作業である。

第2.2章レンジ観測方程式

2.2.1 光行時間方程式 — 「距離」とは何と何の距離か

2-way測距では3つの時刻が登場する。地上局が測距信号を送信した時刻 t_1、探査機が折り返した時刻 t_2、 地上局が受信した時刻 t_3 である。火星距離では t_3 − t_1 が20〜40分に達するから、 その間に地球は数百度ぶん自転し、局は数百km動く。t_1 の局位置と t_3 の局位置は別の点である。 したがって「距離 ρ」という言い方は、それだけでは定義になっていない。

正しくは、次の2本の陰関数方程式（光行時間方程式）で定義される。

ここで r_st は局位置、r_sc は探査機位置、Δ は媒質・相対論による経路延長である （第3部で扱う）。観測される量は t_3 − t_1 と、機上の折返し遅延 τ_tr であり、 観測量としての測距値は次で定義される。

この ρ_obs は幾何学的な距離そのものではなく、2本の経路長の平均である。 推定の側でこれと同じものを計算しなければ、系統誤差になる。

2.2.2 光行時間方程式を解く

上の2式は t_2 について陰であり、反復で解く。順序が重要で、下りを先に解く。 観測されるのは t_3（受信時刻）だからである。

これで t_2 = t_3 − τ_down が定まる。次に上りを同じ形で後ろ向きに解いて t_1 を得る。 収束は速い。反復1回ごとに誤差は概ね (v_rel/c) 倍に縮むので、探査機の視線速度が30 km/sでも 1回で10⁻⁴、2回で10⁻⁸、3回でほぼ丸め誤差に達する。 実装では3回固定か、変化量が1 psを下回るまで、とすればよい。

2.2.3 観測方程式の完全形 — 補正項をすべて並べる

推定に使う観測方程式は、幾何項に補正項をすべて足した形である。 「どれを入れ、どれを落としたか」を明示的に管理することが、系統誤差を制御する唯一の方法である。

桁を見てほしい。幾何以外の項の合計は、測距の測定精度（10 cm級）より2〜3桁大きい。 測距が「精密な観測量」であるのは、これらを較正しきったあとの話である。 精度の議論を測定器の性能だけでするのは、この表を見ていないということになる。

2.2.4 測距信号の構成 — CCSDS PN測距

測距信号に求められるのは相反する二つで、精密さ（位相を細かく読める＝高い周波数成分が要る）と 一意性（どのサイクルかが決まる＝長い周期が要る）である。 現行標準の CCSDS PN測距（CCSDS 414.1-B）は、周期の異なる6本の短い二値符号を 重み付き多数決で1本に合成することで、この二つを同時に満たす。

成分符号の周期は 2, 7, 11, 15, 19, 23 チップ。互いに素だから、合成符号の周期は積になる。

周期2チップの成分 C_1 はチップレートの半分の方形波であり、これがレンジングクロックとして精度を担う。 残る C_2〜C_6 があいまい解決を担う。これは中国剰余定理を電波でやっているのと同じことで、 各成分符号との相関から得た位相（＝各周期での剰余）が揃う点が、周期 L の中で一意に決まる。

電力配分には2種類の標準符号がある。T4B はクロック成分 C_1 に電力の約88%を集中させ、 測距精度を優先する。T2B は C_1 を約39%に抑えて成分符号に配り、捕捉時間を優先する。 巡航中の弱いリンクでは T4B、素早い再捕捉が要る場面では T2B、というのが選択の基準になる。

2.2.5 精度の理論限界と、要求 P_R/N_0

ここが本章の中心である。測距精度は測定器の巧拙ではなく、推定理論の下限で決まる。

受信した測距信号と局内の参照波形の相関を時間 T だけ積分する。信号成分は毎瞬同じ向きに積み上がるので 振幅は T に比例して育ち、雑音は向きがランダムだから √T でしか育たない。 積分後のSNRは (P_R/N_0)·T まで改善する。位相誤差は「信号ベクトルに直交する向きの雑音」を 「信号の長さ」で割ったものであり、雑音のうち直交成分に効くのは半分だから

となる。これはクラメール・ラオ下限に一致しており（第4.9章で一般論として扱う）、 これ以上うまい測り方は原理的に存在しない。位相を距離に直すと、 2-way（往復で位相が2倍積算される）だから

実務でよく要るのは逆向きの式である。目標測距精度 σ_ρ を達成するのに必要な P_R/N_0 は

この式は設計会議でそのまま使える。測距要求が「10 cm」と言われたら、 リンクバジェット側に 26.8 dBHz を要求として渡し、 それが成立しないなら「積分時間を延ばす」「クロックを上げる」「要求を緩める」の三択になる。 積分時間を延ばす選択は、探査機の加速度によって位相が曲がる（コヒーレンス時間の限界）ので無限には伸びない。

2.2.6 変調指数と電力配分 — 測距に何割渡すか

P_R は総受信電力 P_T のうち測距に配分された分である。配分は位相変調指数で決まり、 ここが通信系設計者と航法担当が正面からぶつかる場所になる。

測距変調が方形波（PN測距はこちら）で変調指数 θ_R のとき、残留搬送波と測距の電力比は

正弦波測距（トーン測距）ではベッセル関数になる。

テレメトリ副搬送波も同時に載せる場合は、それぞれの因子の積になる （各変調が独立に電力を取り分ける）。

ここに三すくみが生じる。残留搬送波は受信機PLLがロックを保つのに要り、 テレメトリはデータを運ぶのに要り、測距は航法に要る。総電力は一定である。 測距変調指数を上げると、必ず搬送波かテレメトリのどちらかが痩せる。

実務では、測距を打つパスと打たないパスを分けるのが普通である。 測距中はテレメトリレートを一段落とす、という運用がよく取られる。 この判断はリンクバジェットの問題ではなく、航法要求との調停である。

2.2.7 透過測距と再生測距 — 上りの雑音をどう扱うか

探査機が測距信号をどう折り返すかで、達成できる精度が大きく変わる。

透過測距（transparent / turn-around ranging）は、受信した測距変調をそのまま位相を保って 下りに載せ直す。実装は単純だが、上りで乗った雑音も一緒に増幅して送り返す。 機上受信の測距 SNR を (P_R/N_0)_up、下りのそれを (P_R/N_0)_down とすると、 地上での実効的な測距 SNR は概ね

という直列合成になる。上りが弱ければ、下りをいくら強くしても実効SNRは上がらない。 深宇宙では上りの電力は地上局の送信電力（数十kW）で稼げるが、 機上受信アンテナは小さく、機上の系雑音温度は数百K〜千K級なので、 上りが律速することは珍しくない。

再生測距（regenerative ranging）は、機上で測距符号を復元してから作り直して送り返す。 符号が既知の二値系列であることを使うので、上りの雑音は復元の段階で断ち切られる。 その結果、地上での測距 SNR は下りだけで決まる。

上りが律速している状況では、これは数dBから状況によっては10 dB以上の改善になる。 代償は機上の複雑さ（符号追尾ループを載せる）と、 再生の追尾ループがロックを失うと測距そのものが止まるという運用上の脆さである。 CCSDS 414.1-B は再生測距を前提とした符号系を規定している。

2.2.8 あいまい解決と捕捉時間

測距を「打つ」と決めてから距離が出るまでには時間がかかる。 各成分符号の位相を推定するのに必要な時間が積み上がるからである。 成分 n に配分された電力比を ξ_n² とすると、その成分の相関SNRは ξ_n²·(P_R/N_0)·T_n で育つ。 必要な検出確率を満たす T_n を各成分について求め、合計したものが捕捉時間になる。

設計上の含意は単純で、T4B（クロックに集中）は精度が良いが捕捉が遅く、T2B は逆である。 巡航中のように「1パスで1点取れればよい」場面では T4B、 軌道投入直後のように「早く距離が欲しい」場面では T2B、という使い分けになる。

なお、深宇宙では予報軌道の不確かさがあいまい範囲（例2.2-1で7.6万km）よりずっと小さいため、 あいまい解決は「保険」であって主役ではない。 あいまい解決が本当に効くのは、長期間追跡が途切れたあとの再捕捉や、 予期しないマヌーバがあった直後である。

2.2.9 較正 — ゼロ点、機上遅延、局遅延

2.2.3の表で見たとおり、測距バイアスは測距精度より2桁大きい。 したがって較正の質が測距の質である。

局側（ゼロ点較正）。局内で送信信号を受信系に折り返し、 「距離ゼロ」に対応する測距値を実測する。これを実観測から差し引く。 折返し点をどこに取るかで何が較正できるかが変わり、 アンテナ給電部で折り返せばほぼ全経路が入るが、実施は容易でない。 詳しくは姉妹書『地上局工学』第6.7章で扱う。

機上側（折返し遅延 τ_tr）。トランスポンダの群遅延を地上試験で実測する。 重要なのは温度依存で、機上機器の温度は太陽距離と姿勢で数十K変わる。 群遅延の温度係数が 1 ns/K なら、50 Kの変動で 50 ns ＝ 7.5 m の測距バイアス変動になる。 これは無視できない。温度テレメトリと対応づけたモデルを作り、観測方程式に入れるのが正しい。

2.2.10 残差に現れる系統誤差の顔

推定を回したあと、レンジ残差の形から原因を推測できるようになると、現場での切り分けが速くなる。

最後の行は覚えておく価値がある。残差の飛びが c/(4 f_RC) の整数倍なら、それはあいまいさの取り違えである。 f_RC = 1 MHz なら 75 m の整数倍。物理でなくロジックの誤りなので、力学モデルをいじっても直らない。

2.2.11 偏微分 — 第4部へ渡す

推定に使うには、観測量のエポック状態に対する偏微分が要る。 レンジの場合、幾何項の探査機位置に対する偏微分は視線方向の単位ベクトルそのものである。

û は局から探査機へ向かう単位ベクトル。上りと下りで û はわずかに違う（地球自転のぶん）が、 偏微分の精度としては平均で足りることが多い。エポック状態への引き戻しは状態遷移行列を噛ませて

とする。詳細は第2.7章。ここで重要なのは、レンジがû方向、つまり視線方向しか拘束しないという事実である。 視線に直交する2方向（横方向）については、レンジ観測はほとんど情報を持たない。 これがΔDOR（第2.4章）と光学航法（第2.5章）が必要になる理由であり、 同時にドップラが地球自転を使って横方向情報を絞り出す（第2.3章）理由でもある。

第2.3章ドップラ観測方程式

2.3.1 ドップラ観測量の正体 — 位相カウントであること

地上局のドップラ抽出器が出力するのは瞬時周波数ではない。 基準周波数と受信周波数の差を、指定した計数区間 T_c にわたって積分したサイクル数である。

ここで G はターンアラウンド比（2.3.2）。この積分に物理的な意味を与えると、見え方が一変する。 受信周波数は2-way経路長 S(t) = ρ_up + ρ_down の時間変化で決まるから f_rx = G f_tx (1 − Ṡ/c)、したがって

ドップラ観測量は、計数区間の両端における2-way経路長の差そのものである。 レンジがある瞬間の経路長を測るのに対し、ドップラは経路長の変化量を測る。 だから単位はサイクルであっても、実体は長さである。しかも搬送波の波長（X帯で3.6 cm）を 目盛りに使うので、測距クロック（1 MHzで300 m）よりはるかに細かい目盛りで測れる。 これがドップラが主力である理由である。

2.3.2 ターンアラウンド比とコヒーレント2-way

探査機のトランスポンダは、受信した上り搬送波の位相に厳密に同期して下り搬送波を生成する。 比は有理数に固定されており、これをターンアラウンド比という。

比が有理数であることが本質的である。位相を保ったまま整数比で逓倍・分周できるので、 下り搬送波の位相は上り搬送波の位相の忠実な写しになる。 その結果、地上局の水素メーザ1台の安定度が、往復経路全体の位相基準になる。 これが「コヒーレント2-way」であり、深宇宙の精密ドップラを成り立たせている仕組みである。

2周波を同時に使う配置（X帯上り／X帯下り＋Ka帯下り）が採られることがあるのは、 分散性媒質（電離層・太陽プラズマ）の較正のためである。第3.2章・第3.3章で扱う。

2.3.3 精度の理論限界と、要求 P_C/N_0

ドップラ精度も推定理論の下限で決まる。搬送波位相の測定精度は、測距と同じ形で

である（P_C/N_0 は残留搬送波の電力対雑音密度比。測距の P_R/N_0 とは別物）。 観測量は両端の位相差だから雑音は √2 倍になり、経路長差に直すと

平均距離変化率は ΔS/(2T_c) なので、最終的に

という、実務でそのまま使える形になる。T_c の 3/2 乗で効くことに注意してほしい。 積分時間を4倍にすれば精度は8倍になる。測距（√T でしか効かない）よりずっと効率がよい。

逆に解いて、目標精度 σ_ρ̇ に必要な残留搬送波の要求は

2.3.4 発振器安定度による床 — 実際にはここで止まる

例2.3-1の値は、実際には達成できない。周波数基準そのものの揺らぎが先に効くからである。

2-wayでは Δf/f = −2ρ̇/c だから、基準周波数に相対的な揺らぎ σ_y があると、 それはそのまま距離変化率の誤差に化ける。

ここで肝心なのはどの τ でのアラン偏差を使うかである。 素朴には計数区間 T_c と思いたくなるが、正しくない。 上り送信時刻 t_1 の基準位相と、下り受信時刻 t_3 の基準位相を比べているのだから、 基準が揺らいでよい時間スケールは往復光時間 RTLT である。 火星なら20〜40分、外惑星なら数時間になる。

この結論は運用判断を変える。「ドップラ精度が足りない」という要求に対して、 送信電力を上げても大型局に替えても改善しない領域があるということである。 効くのは、より良い周波数標準、より長い計数区間、そして 媒質較正（第3部）と力学モデル（第1部）の改善のほうである。

なお非コヒーレント（1-way）ドップラでは、機上のUSOの安定度が直接効く。 USOの σ_y は10⁻¹²〜10⁻¹³ 級なので、2-wayより2〜3桁悪い。 機上原子時計（DSAC級、10⁻¹⁵）が意味を持つのはここである（第5.7章）。

2.3.5 計数区間の設計 — 短くすると何が起きるか

T_c は自由に選べる設計変数だが、両側から縛られる。

長くする方向の利益: 精度が T_c^{3/2} で改善する。データ量が減る。

長くする方向の損失: 区間内の加速度が平均されて潰れる。 マヌーバや短時間の異常加速度が見えなくなる。 区間内で ρ̈ が一定なら平均値は区間中央の瞬時値に等しいが、ρ⃛ が効くと偏る。

実務では複数の計数区間を並行して出す（10 s / 60 s / 600 s）のが普通で、 軌道決定側がフェーズに応じて選ぶ。短い区間から長い区間は後から合成できるが、逆はできない。 迷ったら短く取っておくのが安全である。

2.3.6 地球自転の署名 — ドップラだけで角度が決まる理由

ドップラは視線方向の情報しか持たないはずである。ではなぜドップラ単独で軌道が決まるのか。 答えは地球の自転にある。

探査機が十分遠方にあり、視線方向の単位ベクトル û（赤経 α、赤緯 δ）が 1パスのあいだほぼ一定とみなせるとする。局位置の地心からのずれを û に射影すると

ここで r_s は局の自転軸からの距離、z_s は赤道面からの高さ、λ は経度、ω_E は地球自転角速度。 これを時間微分すれば、距離変化率に1日周期の正弦が現れる。

振幅が赤緯を、位相が赤経を与える。これがドップラから角度が出る仕組みである。

この最後の一文が、ΔDOR（第2.4章）が存在する理由である。 ドップラの角度情報は1日周期の系統誤差と縮退している。 ΔDORは幾何を直接測るので、この縮退から独立に横方向を拘束できる。 両者は競合ではなく、相補である。

2.3.7 3-way運用と局間バイアス

送信局と受信局が別の局である配置を3-wayと呼ぶ。可視時間の切れ目をまたいで 連続的に追跡できるという運用上の利点があるが、観測量としては性質が変わる。

2-wayでは送受が同一の周波数標準を共有するため、基準の揺らぎは共通で相殺される。 3-wayでは2台の独立な周波数標準の差が観測量に直接乗る。 両局の標準の相対オフセットを Δf/f = ε とすると、距離変化率に

のバイアスが現れる。ε = 10⁻¹³ でも b = 15 µm/s であり、 2-wayの精度（0.3 µm/s）の50倍にあたる。3-wayドップラはバイアスを推定パラメータに入れて使うのが原則で、 入れずに2-wayと同じ重みで混ぜると軌道が引っ張られる。

局間の時刻・周波数を高精度で結んでおけば ε は小さくできる。 その手段（GNSS共通視、TWSTFT、光ファイバ分配）は姉妹書『地上局工学』第5部で扱う。

2.3.8 相対論的な効き方

ドップラは搬送波位相を測っているので、相対論は「補正」ではなく定義の一部として入る。 効く経路は3つある。

• 二次のドップラ（時間の遅れ）: 送受信端の速度による固有時の進み方の差。 地上局は地球自転と公転で動き、探査機も動く。一次項に対して (v/c) 倍の大きさ。
• 重力赤方偏移: 局と探査機のポテンシャルの差。太陽ポテンシャル中を移動すると効く。
• Shapiro遅延の時間変化: 経路が太陽に近づく／遠ざかると、重力遅延そのものが変化し、 それが距離変化率として観測される。合の前後で急激に効く。

いずれも第3.4章で定量的に扱う。ここで押さえるべきは、 µm/s級の観測量に対して相対論は「効くか効かないか」ではなく「必ず入れる」項であるということである。

2.3.9 ドップラ残差の顔

実務の勘所は「同じ周期がレンジ残差にも出ているか」を必ず見ることである。 両方に出るなら幾何・座標系・局位置を疑い、ドップラだけなら周波数標準側を疑う。 群遅延と位相遅延は分散性媒質で符号が逆になるので（第2.2.9）、 符号の関係も切り分けの手がかりになる。

2.3.10 偏微分 — 第4部へ渡す

ドップラ観測量は経路長の差だから、偏微分も差の形になる。

幾何項については ∂S/∂r_sc ≈ 2û だから、 両端の視線方向の差が効く。パスのあいだに û がどれだけ回るかが情報量を決める、 という第2.3.6の議論がここに現れる。速度に対する偏微分は状態遷移行列を通じて入る（第2.7章）。

第2.4章ΔDOR観測方程式

2.4.1 出発点 — VLBI観測量としての群遅延

離れた2局で同じ電波源を同時に受信する。到来方向の単位ベクトルを ŝ、 2局を結ぶベクトル（ベースライン）を B とすると、両局への到達時刻には差が生じる。

この τ を群遅延という。ベースラインの向きは既知（局位置は測量されている）だから、 τ を測れば ŝ の、ベースライン方向成分が決まる。 これは角度の直接測定である——距離でも速度でもなく、天球上の方向そのものを測っている。

局から見た角度誤差は、遅延誤差をベースラインの投影長で割った形になる。

B_proj は電波源方向に直交する成分（有効ベースライン）である。 式の形が示すとおり、長いベースラインほど角度精度がよい。 これが後で日本の事情として効いてくる（2.4.8）。

2.4.2 なぜ差分をとるのか — DOR から ΔDOR へ

探査機の群遅延 τ_sc を単独で測る（DOR: Differential One-way Ranging）だけでは精度が出ない。 τ_sc には測りたい幾何以外のものが山ほど乗っているからである。

そこで、探査機とほぼ同じ方向にある電波源を直後に観測し、同じ量を測る。

2つの差をとる。これがΔDORである。

何が消えたかを整理しておく。

「差分で消す」ことが本質であり、それが成立する条件は「同じものを通す」ことである。 だから較正天体は探査機に角度的に近くなければならず（2.4.6）、 切り替えは大気が変わらないうちに済ませなければならない（2.4.7）。 この二つの制約が、ΔDOR運用のほぼすべてを規定している。

2.4.3 帯域合成 — 遅延分解能はどこから来るか

群遅延を精密に測るには、広い周波数範囲にわたって位相を測る必要がある。 位相の周波数微分が群遅延だからである。

2点の周波数 f_1, f_2 で位相を測れば τ ≈ Δφ/(2πΔf) となり、 Δf（スパンド帯域幅）が大きいほど遅延が細かく決まる。 ここで前章までと同じ位相誤差の式が効いてくる。

B_rms はスパンド帯域の中心まわりの実効的な広がり（rms帯域幅）である。

探査機側は、搬送波の両側にDORトーンと呼ぶ側波帯を意図的に立てる。 トーン間隔を広く取るほど精度がよいが、 間隔が広いと位相のあいまいさ（2π の整数倍）が生じる。 そこで狭い間隔のトーン（あいまいさなし・低精度）と広い間隔のトーン（高精度・あいまいあり）を 階層的に使い、粗い解で細かい解のあいまいさを解く。 測距でクロックと成分符号が役割分担していたのと、まったく同じ構造である。

クオーサは自然の広帯域雑音源なので、受信帯域を離散的に複数チャネル配置して 同様に帯域合成する。合成の設計（チャネル配置）が遅延分解能を決めるので、 チャネルは等間隔ではなく、あいまい解決と分解能を両立するように配置する。

2.4.4 角度精度と要求S/N

2.4.1と2.4.3を合わせると、ΔDORの角度精度が閉じた形で書ける。

逆に解けば、目標角度精度に対する要求S/Nが出る。

実際には探査機側だけでなくクオーサ側のS/Nも効く。 クオーサは弱い（0.1〜数 Jy）ので、多くの場合クオーサ側が精度を律速する。 合成した遅延誤差は

となり、σ_sys（差分後に残る系統誤差）が数十psのオーダーで下限を作る。 探査機側をいくら強くしても、クオーサと系統誤差の壁で止まる。

2.4.5 誤差予算

この表の読み方で大事なのは、上4行は運用設計で動かせるが、下4行は動かしにくいということである。 積分時間を延ばして熱雑音を下げても、対流圏残差と局位置誤差の床に当たれば止まる。 「もう一段精度を上げたい」となったときにどこを攻めるかは、この表を自分の数字で埋めて決める。

2.4.6 較正天体の選び方 — ICRF3から探す

ΔDOR運用の準備で最も手間がかかるのが、較正天体（クオーサ）の選定である。 条件は4つある。

• 離角が小さいこと。探査機の見かけ位置から数度以内。離角に比例して対流圏・電離層・ 局位置の差分残差が増えるので、近いほどよい。実務上は10度以内、できれば数度以内を狙う
• 十分明るいこと。観測周波数帯（X帯・Ka帯）でのフラックスが要る。 低周波で明るくても高周波で暗い天体があるので、使う帯域での値を見る
• 位置精度がよいこと。ICRF3のカタログ位置誤差がそのまま系統誤差になる
• 構造が小さいこと。ジェット構造を持つ天体は、ベースライン方向によって 見かけの位置がずれる。構造指数の小さい天体を選ぶ

この4条件を同時に満たす天体は多くない。しかも探査機は動くので、 ミッション期間を通じた較正天体のスケジュールを事前に作っておく必要がある。 軌道が変わるたびに作り直しになるのが、この作業の面倒なところである。

2.4.7 スイッチングサイクルの設計

探査機とクオーサを交互に観測する。1周期の時間配分が設計変数になる。

周期を決めるのは大気のコヒーレンス時間である。対流圏の湿潤成分は数分のスケールで変化するので、 これより長い周期で切り替えると、差分で消えるはずの大気が消えなくなる。 一方で周期を短くすると、アンテナのスルー（回転）時間の割合が増えて実効積分時間が減る。

典型的には数分周期。大口径局はスルーが遅いので不利になる。 「大きい局のほうが常に良い」わけではないのがΔDORの面白いところで、 感度（大口径有利）とスルー速度（小口径有利）のトレードがある。

セッション全体は数十分から1時間程度。ベースラインの向きが地球自転で回るので、 長く続ければ2次元の角度が決まる方向に近づくが、 通常は1セッション＝1ベースライン＝1方向成分と考えるのが安全である。 2次元を決めたければ、直交に近いベースラインでもう1セッション打つ。

2.4.8 ベースライン事情 — 日本でΔDORをやるということ

σ_θ = c σ_τ/B_proj は残酷な式である。ベースラインが10分の1なら角度精度も10分の1になる。

国内の深宇宙局同士では、この式が厳しく効く。臼田と美笹は同一構内に近く、 ベースラインはほぼゼロで、ΔDORのベースラインとしては使えない。 臼田と内之浦を結んでも、緯度差・経度差から計算すれば1000 km を切る。

したがって日本が高精度ΔDORを行うには、次のいずれかを取ることになる。

• 国内VLBI網の活用。天文観測用のVLBI網は日本列島を縦に使うので、 深宇宙局同士よりずっと長いベースラインが得られる。ただし周波数帯・受信系・ スケジュール調整という別の課題が入る
• 国際相互支援。海外機関の局とペアを組めば大陸間ベースラインになる。 精度は最良だが、調整・費用・スケジュールの制約を受ける（姉妹書『地上局工学』第7.5章）
• ΔDORに頼らない設計。ドップラの1日周期署名（第2.3.6）と光学航法（第2.5章）で 横方向を押さえ、ΔDORは要所だけに使う

どれを選ぶかは、ミッションの横方向要求から逆算して決める。 「ΔDORをやるかどうか」ではなく「何 nrad が要るのか」から入るのが正しい順序である。 その計算は第4.8章（可観測性）と第5.1章（追跡計画）で扱う。

2.4.9 データの流れと標準形式

ΔDORは局で完結しない。両局で記録した生データを持ち寄って相関処理し、 そこで初めて遅延が得られる。したがって運用の流れは他の観測量と大きく違う。

この流れの各段階でフォーマットの取り決めが要る。 とくに国際協力でΔDORを行う場合、記録フォーマットとメタデータが合っていないと 相関処理そのものができない。CCSDSはΔDORの生データ交換形式を標準化しており、 これに従うことで機関をまたいだ相関処理が可能になる。

最終的な Δτ は追跡データメッセージ（TDM）の観測量として軌道決定へ渡る（第5.5章）。 TDMにはΔDOR観測量のためのキーワードが用意されており、 較正天体の識別子・ベースラインを構成した局・スパンド帯域などのメタデータを添えて渡す。 このメタデータが欠けると、受け取った側は観測量を正しくモデル化できない。

2.4.10 Same-Beam Interferometry — 2機を同時に見る

2機の探査機が同じ天体を回っていて、地上局から見て同一ビーム内に入る場合、 クオーサではなく相手の探査機を較正源にできる。これがSBI（Same-Beam Interferometry）である。

離角が極めて小さい（ビーム幅の中）ので、大気も局位置も機器もほぼ完全に共通になり、 差分後の系統誤差はΔDORよりさらに小さくなる。得られるのは2機の相対角度位置なので、 編隊や、周回機と着陸機の相対位置決定に強い。

制約は明快で、2機が同時に同一ビーム内にいなければ成立しない。 火星や月のように複数機が集まる天体でのみ使える手法である。

2.4.11 偏微分と、他の観測量との組み合わせ

Δτ の探査機位置に対する偏微分は、ベースラインを視線に直交する面へ射影したものになる。

B_⊥ はベースラインの視線直交成分。レンジ（û方向）とは直交する方向に効くことが式から読める。 これが「レンジ＋ドップラ＋ΔDORで3次元が決まる」ことの数学的な内容である。

第4.8章で情報行列を組むと、この相補性が定量的に見える。 レンジのみ／レンジ＋ドップラ／＋ΔDOR と積み上げたときに 共分散行列の各方向がどう縮むかを見ておくと、追跡計画の判断が速くなる。

第2.5章光学航法とその観測方程式

2.5.1 観測量は「写った方向」である

画像上の天体の位置 (u, v) は、探査機から見た天体の視線方向単位ベクトルの写像である。 ピンホールカメラモデルで：

r_t − r_sc が目標相対位置（推定したい量）、q が姿勢、R_CB がカメラ取付、 f・(u₀,v₀) が焦点距離・主点、これに歪みモデル（半径方向歪み等）が加わる。 ここから光学航法の性格がすべて読める：

• 測っているのは角度2成分。距離方向は（見かけサイズを使わない限り）盲目 — 第2.1章の図の「横方向」担当
• 姿勢 q が観測方程式の中にいる。姿勢誤差1 arcsecは角度観測誤差1 arcsecに直結する。 対策が次節の「星と一緒に撮る」である
• 精度の物差しは1画素の張る角（IFOV）×重心決定精度。 IFOV 10 µrad・重心0.1画素なら1 µrad — 距離10⁵ kmで横方向100 mに相当する

2.5.2 星を一緒に撮る — 姿勢問題の消去

天体だけ写した画像の精度は姿勢決定精度で頭打ちになる。 そこで同じ画像に恒星を写し込む（OpNav画像の基本形）。 恒星の慣性方向は星カタログで正確に分かるから、 画像内の星々がその画像の姿勢（とカメラ内部パラメータ）をその場で決めてくれる。 目標天体の方向は星に対する相対角として読み取られ、 ジャイロ・スタートラッカの誤差から切り離される。

公開情報：現代の星カタログはESAのGaia計画による（Gaia DR3、公開）。 位置精度はmas（ミリ秒角）以下 — 光学航法の姿勢基準としては事実上誤差ゼロであり、 律速は常にカメラ側（重心決定・歪み較正）にある。 かつてのOpNavの主要誤差源だったカタログ誤差は、Gaia以後は歴史的話題になった。

2.5.3 重心決定 — 0.1画素への道と系統誤差

点像（遠い天体・恒星）はPSFフィッティングで0.1〜0.01画素まで追い込める。 問題は面積を持つ天体である。輝面重心（明るさの重心）は 照らされた側に偏る — 位相角（太陽-天体-探査機角）が大きいほど、 幾何中心から系統的にずれる。これは雑音ではなく幾何で決まる系統誤差なので、 形状モデルと位相角からモデル化して補正する（できなければ観測の重みを下げる）。 「三日月に写った小惑星の中心はどこか」— この問いの扱いがOpNavの精度を決める。

2.5.4 ランドマーク航法 — 角度が6自由度に化ける

近傍まで来て表面の地形が分解できると、質が変わる。 表面の既知地点（ランドマーク：クレータ・岩塊）を複数追えば、 各ランドマークが観測方程式を1本ずつ与え、 天体固定座標系に対する探査機の位置・姿勢が同時に決まる（写真測量のリセクションと同型）。 はやぶさ2のタッチダウン航法（第6.1章）はこの枠組み＋ターゲットマーカ （自分で置いた人工ランドマーク）である。 ランドマークの3次元座標自体も接近中の画像群から推定される（形状モデル構築 — 第1.6章） — ここでも「観測でモデルを育てる」構図が現れる。

2.5.5 融合 — 重みと役割の設計

推定器（第4部）から見れば、光学は観測ベクトルに (u,v) の行が増えるだけである。 設計上の要点は：

• 役割分担を幾何で決める — 巡航は電波（絶対軌道）、接近は電波＋光学（相対へ重心移動）、 近傍はランドマーク＋高度計が主・電波は従（第6.1章の実例）
• 系統誤差の相関に注意 — 同一カメラの画像は歪み・重心バイアスを共有する。 画像を増やしても系統誤差は1/√Nで減らない（第3.6章の一般論）
• 時刻付けを厳密に — 露光中心時刻の誤差は、相対速度×誤差ぶんの位置誤差になる。 電波と同じく、光学もタイムタグが命である（第5.5章と同じ教訓）

第2.6章座標系・局位置・地球回転パラメータ

2.6.1 二つの基準系 — ICRFとITRF

公開情報：現行の実現はICRF3（クェーサー約4500個の電波位置、公開）と ITRF2020（IERSが公開）。どちらも観測で維持される「実現」であり、 版が更新される — 暦・定数と同じく（第1.4章）、版をそろえて使う。 ΔDORの較正天体カタログがICRFそのものであること、 ITRFの構築にVLBI（クェーサー観測）が使われていること — 深宇宙航法は測地インフラの上に立っている。

2.6.2 変換の分解 — 歳差・章動・自転・極運動

ITRFからICRFへの回転は、慣例的に次の積に分解される：

要は「モデルで書ける部分」と「測るしかない部分」に分かれ、 後者 — UT1−UTC と極運動 — がEOPとしてIERSから公開される（週次更新＋予測値）。 UT1は地球の自転ムラ（大気・海洋・コアの角運動量のやり取り）でms級で揺らぐ。

2.6.3 局位置 — 測量値と、動き続ける地面

局のITRF座標は測量（GNSS併設・VLBIコロケーション — 『地上局工学』第5.4章）で cm級に決まる。ただし「決まった後も動く」：

潮汐変位数十cmは、素朴な直観（「地面は固い」）を裏切る大きさである。 月と太陽は海だけでなく岩も持ち上げている — 精密軌道決定は、この上下動を毎日補正しながら行われている。

2.6.4 誤差の伝わり方 — 日周署名という指紋

局位置・EOPの誤差は、地球自転を通じて観測量に1日周期の署名を刻む （第2.3章の日周署名と同じ幾何）。この事実は二つの顔を持つ：

• 厄介な顔 — 探査機の赤経・赤緯の情報も日周署名に乗っている（第2.3章）。 局・EOPの誤差は探査機の角度位置の誤差と紛れやすい（縮退 — 第4.8章）
• 便利な顔 — 残差の日周成分を見れば、局・EOP系の問題を疑える（第4.9章の切り分け）。 複数局・複数日のデータで縮退は解ける

2.6.5 実装と検算の作法

1. 規約の実装を自作しない — IAU/IERSの変換はSOFA（公式公開ライブラリ）・SPICEに任せる。 自作は検証コストに見合わない
2. 版の4点セット（第1.4章）にEOPファイルの日付を加える — 「いつのEOPで計算したか」を成果物に記録する
3. 検算 — 同じ変換を独立実装（SOFA vs SPICE）で突き合わせ、mas級で一致することを確認。 ズレたらほぼ確実に、章動モデルの版・UT1とUTCの取り違え・潮汐補正の有無の差である

第2.7章光行時間と偏微分係数 — 感度行列を組む

2.7.1 復習 — 計算値 h(x) は光行時間つきで

レンジ・ドップラの計算値は光行時間方程式の反復解（第2.2章2.2.2項）を通じて評価する。 偏微分もこの構造 — 「観測時刻 t₃ は共通、送信・反射時刻は状態依存」 — の上で取る。 幸い、光行時間の状態依存を厳密に微分する必要はない： その効果は (v/c) 倍の高次項になり、一次の偏微分では無視できる （残差反復 — 第4.2章 — の中で吸収される）。

2.7.2 レンジの偏微分 — 視線方向単位ベクトルそのもの

2-wayレンジ ρ = (ρ_up + ρ_down)/2 の、反射時刻の探査機位置に対する偏微分は：

û_up・û_down は上り・下り経路の方向単位ベクトル（ほぼ等しい）。 つまりレンジは視線方向の位置だけを、感度1で測る — 第2.1章の図の数学的な中身がこれである。速度への感度は実質ゼロ。

2.7.3 ドップラの偏微分 — 差分レンジとして取る

ドップラ観測量は計数区間 [t_a, t_b] の差分レンジ（第2.3章）だから、偏微分も差分で書ける：

「両端のレンジ偏微分の差 ÷ T_c」。実装上はレンジ偏微分のルーチンを2回呼ぶだけであり、 瞬時レンジレートの微分（û̇ を含む式）を別途導出するより単純で、 観測量の定義（第2.3章：ドップラは積分量）とも厳密に整合する。 定義に忠実な実装は導出も検算も楽になる — 差分レンジ観の実利がここにある。

2.7.4 エポックへの引き戻し — Φ との連鎖

偏微分は観測時刻 t での状態に対するものだが、推定したいのはエポック t₀ の状態である （バッチ推定 — 第4.2章）。状態遷移行列（第1.2章）で連鎖させる：

この式が本書前半の総決算である：幾何（第2部）と力学（第1部）の積が感度になる。 レンジ単独では速度が見えない（∂ρ/∂v≈0）のに軌道が決まるのは、 Φ が「後の位置は前の速度に依存する」ことを知っているからである。 観測の時間分布が可観測性を作る（第2.1章・第4.8章）ことの数学的な実体もこの積にある。

2.7.5 パラメータ偏微分 — 状態を拡げる

SRP係数 C_r・重力場係数・マヌーバΔV・局バイアスなど、 推定パラメータ p への感度も同じ形で作る：

力学パラメータ（C_r等）は S(t) 経由で、 観測パラメータ（局バイアス・時計 — 第3部・第5.6章）は直接項で効く。 「状態6個＋パラメータ」を並べた拡大状態で推定する準備が、これで整う（第4.2章）。

2.7.6 検算 — 数値微分と3桁合わせる

感度行列の実装ミスは、推定をゆっくり間違った答えへ収束させる陰湿なバグになる （収束はするので気づきにくい）。防御は機械的な検算である：

1. 状態成分 i を ±δ 動かし、(h(x+δ)−h(x−δ))/2δ を計算（中心差分）
2. 解析偏微分と相対誤差10⁻³以下で一致することを全成分で確認
3. δ は成分のスケール×10⁻⁶程度から振って、一致がδに依存しないことを見る

この検算はテストコードとして常設し、モデルを触るたびに回す。 第1.2章の変分方程式検算と合わせ、「力学と幾何の微分は常に機械検算済み」という状態を保つ — 軌道決定ソフトの品質は、この地味な習慣で決まると言ってよい。

第3.1章対流圏遅延 — 天頂遅延とマッピング関数

3.1.1 物理 — 屈折率がわずかに1を超える

中性大気の屈折率 n はわずかに1より大きく、電波は真空より遅く・わずかに曲がって進む。 経路遅延（距離換算）は屈折率の道のり積分：

対流圏は非分散性（この周波数帯で遅延が周波数によらない）である点が電離層（第3.2章）と決定的に違う。 つまり二周波でも消せない — 気象の実測とモデルで較正するしかない。

3.1.2 乾燥成分と湿潤成分 — 性格が正反対の二人組

この表が本章の骨子である。大きい方（乾燥）は正確に読めて、 小さい方（湿潤）が誤差予算（第3.6章）に生き残る — 対流圏の実務は「湿潤数cmとの戦い」と要約できる。

3.1.3 マッピング関数 — 1/sin(el) の精密版

斜め経路の遅延は、天頂遅延 Z に仰角依存の倍率 m(el) を掛けて表す：

平面大気なら 1/sin(el) だが、地球は丸く大気は層をなすので、 低仰角ほど 1/sin から外れる。精密なマッピング関数は連分数形で与えられ、 乾燥・湿潤で別の関数を使う（湿潤は低い高度に集中するため仰角依存が強い）。

公開情報：現代の標準は数値気象モデルから作られるVMF系 （Vienna Mapping Functions — ウィーン工科大が公開、グリッド値が定期配信）と、 その場の気象によらない経験版GMF/GPT系。いずれもGNSS/VLBI測地と共通の公開インフラであり、 深宇宙ODは測地コミュニティの成果をそのまま輸入している（第2.6章と同じ構図、付録C）。

3.1.4 較正の道具箱

1. 地上気象実測 — 気圧→乾燥成分（mm級で確定）。気温・湿度→湿潤の粗い見積り
2. 数値気象モデル — 湿潤成分の3次元場から遅延を計算（VMF系の入力）。cm級
3. 水蒸気ラジオメータ(WVR) — 視線方向の水蒸気輝線放射を測って湿潤遅延を直接推定。 良条件でmm〜cm級。重力波検出級の精密電波科学（第6.5章）で使われる
4. GNSS併設受信機 — 測地GNSS解析の副産物として局上空の天頂遅延が出る。 深宇宙局にGNSS受信機を置く理由の一つ（『地上局工学』第5.4章）

3.1.5 残差推定 — 読めない分は解いてしまう

較正してもcm級が残る。最後の手は湿潤天頂遅延の残差 δZ_wet を推定パラメータに加えることである （第2.7章のパラメータ偏微分：∂h/∂δZ = m_wet(el) という直接項）。 仰角が時間変化するパスでは m_wet(el) の形が探査機状態の感度と異なるため分離可能 — GNSS測地では常識の手法で、深宇宙でも精密解析で使う。 ただし低仰角データがないと分離が弱い（m_wetの変化が乏しい）という綾があり、 「精度のため低仰角を切る」3.1.3項との間で設計判断になる。 ここでも統計（第4部）と物理（本章）が絡み合う。

第3.2章電離層とTEC

3.2.1 位相は進み、群は遅れる

プラズマ中の電波は、搬送波の位相速度が光速を超え（位相は進む）、 変調・情報の伝わる群速度は光速より遅い（群は遅れる）。一次近似で大きさは等しく符号が逆：

TEC（全電子数：視線に沿った電子密度の柱密度、単位TECU=10¹⁶ el/m²）が媒質の状態を表す唯一の量である。 実務上の帰結：レンジ（群測定）は長く測られ、搬送波位相・ドップラは短く測られる。 同じ経路なのに符号が逆 — この非対称は、レンジと位相を比べることで 電離層を推定できるという便利さの種でもある。

3.2.2 桁 — どれくらい効くか

昼夜で1桁動き、太陽活動（11年周期）でさらに変わる。 「電離層は時刻と太陽で呼吸する」— 静的な補正値では追えない相手である。 なおS帯では上表の13倍（第2.2章）になり、電離層だけでm級 — S帯が精密ODに使われない理由が再確認できる。

3.2.3 二周波較正 — 分散性を逆手に取る

遅延が 1/f² に正確に比例するなら、2周波数 f₁, f₂ の同時観測から 電離層フリーの組合せが作れる：

探査機がS/X、X/Ka の2バンド同時ダウンリンク（第2.3章のデュアル下り）を持てば、 地上で受けるだけで視線上のプラズマ遅延が観測ごと消える。限界も知っておく：

• 雑音の増幅 — 組合せ係数の分だけ測定雑音が増える（f₁/f₂が近いほど悪化）。 X/Ka（比3.8）は増幅が小さく理想的、S/X（比3.7）も良好
• higher-order項 — 1/f³以降（磁場との結合等）は残る。mm級を狙う電波科学で効く
• 機器遅延の差 — 2バンドの機器群遅延差が較正誤差として直結する（第5.6章のゼロ点較正）

3.2.4 一周波しかないとき — GNSS TECマップ

単一バンドのミッションは外部情報で補正する。 世界中のGNSS受信機網（それ自体が二周波）から作られる全球電離層マップ(GIM)が 公開されており（IGS等が定期配信 — 付録C）、視線方向へ写像して遅延を見積もる。 精度は数TECU（X帯で数cm）どまり — 二周波の代替ではなく「無いよりずっと良い」道具である。 地上局の直上はGNSSで密に測れるが、視線は斜めに電離層を貫くので、 マップの空間分解能と写像関数の誤差が残る。

3.2.5 シンチレーション — 較正できない揺らぎ

電離層の不規則構造（数百m〜km規模のプラズマ密度ムラ）を電波が通ると、 振幅と位相が数秒スケールでランダムに揺れる — シンチレーションである。 磁気赤道帯の日没後と高緯度で強く、太陽活動極大期に増える。 これは平均遅延の較正では消えない確率的な過程であり、扱いは： ①観測の重み下げ（分散を膨らませる — 第4.2章）、 ②搬送波ループ側の対策（帯域選択 — 『宇宙通信』第3部）、 ③ひどい時間帯・幾何のデータ棄却（第4.9章）。 「較正の章」の最後に「較正できないものの扱い」が来る — この構図は次章の太陽プラズマで極端になる。

第3.3章太陽プラズマと合 — 最大の誤差源に化ける区間

3.3.1 コロナ・太陽風の電子密度 — 1/r² で薄まる海

太陽からの距離 r での電子密度は、遠方（太陽風領域）でおおむね N_e ∝ 1/r²、 コロナ近傍ではより急な項が加わる経験モデルで表される。 視線がインパクトパラメータ p（太陽中心からの最近接距離）で太陽をかすめるとき、 TECは視線積分で決まり、pが小さいほど急増する。 遅延は電離層と同じ 40.3·TEC/f² [m] — 物理は完全に共通で、規模だけが違う。

3.3.2 SEP角 — 運用を支配する一つの角度

地球から見た太陽と探査機の離角（SEP角）が幾何を代表する。 p ≈ 1 au × sin(SEP) なので、SEP角がそのまま「視線がどれだけ太陽に近いか」を表す。

数値はX帯・平均的太陽活動での目安（太陽活動・CMEで大きく動く）。 重要なのはこの期間が暦から何年も前に正確に予測できることである — 幾何の問題だから。合をまたぐ運用設計（マヌーバを置かない・成立性をどう保つか）は 第6.4章で事例として扱う。

図3.3-2　電波が通る「濃い海」の正体。 2010年7月11日のイースター島皆既日食で撮影した内側コロナ（白黒）に、 SOHO衛星のLASCOコロナグラフが捉えた外側コロナ（赤の擬似カラー）を重ねた合成画像。 画像: NASA/GSFC。 合の期間、探査機の電波はまさにこの赤い領域 — 太陽から数〜数十太陽半径の外側コロナ — を貫いてくる。 滑らかに見えて実際は乱流であり、密度のムラが視線を横切るたびに位相が揺れる — それが本節の「平均遅延より揺らぎが効く」の物理的な姿である。

3.3.3 なぜ航法に効くのか — 遅延よりも「揺らぎ」

平均的な遅延なら較正のしようもあるが、太陽風は乱流である。 密度ムラが視線を横切るたび、位相が数秒〜数分スケールで揺らぎ、 ドップラ残差のパワーが増える（Allan偏差の悪化として現れる — 第2.3章の精度限界の議論）。 この揺らぎは：

• 白色でも定常でもない — 重み付けの前提（第4.2章）を壊す。時間相関つき誤差として扱う（第4.7章）
• 1/f²で効く — 分散性なので二周波（第3.2章）とKa帯化が効く。 X帯→Ka帯で揺らぎの寄与は1/14 — 「合に強い」がKa帯の隠れた利点である （『周波数管理と国際調整』第2.4章の表には出ない項目）
• 幾何だけで決まらない — CME（コロナ質量放出）が視線を横切れば、SEP角が大きくても突発的に荒れる。 宇宙天気情報との突き合わせが切り分け（第4.9章）に役立つ

3.3.4 設計での緩和 — まとめ

1. 計画：合の期間を暦で特定し、臨界イベント（マヌーバ・軌道投入）を置かない（第5.1章・第6.4章）
2. 周波数：Ka帯利用・二周波構成はプラズマに対して1〜2桁の耐性を買う
3. 推定：合の前後のデータは分散を膨らませ・相関誤差として扱い、アーク設計（第4.5章）で合を跨がない
4. 探査機側：合期間の自律動作（コマンド無しで安全に過ごす — セーフィング設計）を前提に組む

3.3.5 逆転の視点 — 雑音は信号である

合のドップラ・レンジデータは、航法にとってはゴミでも、 太陽コロナを電波で串刺しにした断層観測そのものである。 探査機の合を利用したコロナ電子密度の推定、太陽風の乱流スペクトルの研究、 さらに一般相対論の検証（Shapiro遅延の精密測定 — 第3.4章）は、 すべて「合の悪条件データ」を主役にした電波科学である（第6.5章）。 同じデータが立場で信号にも雑音にもなる — 本書で繰り返し現れる構図の、最も鮮やかな例である。

第3.4章相対論的補正 — Shapiro遅延と座標時

3.4.1 まず桁 — 入れ忘れたらどう見えるか

どれも「小さな補正」ではない。m級の測距に対して桁違いに大きいものばかりであり、 相対論はモデル h(x)（第2.1章）の必須構成要素である。

3.4.2 Shapiro遅延 — 重力場の中で光は「遠回り」する

質量 M の天体のそばを通る電波は、時空の曲がりのぶん余計な時間がかかる。 送信点 r₁・受信点 r₂・天体からの距離を使って（PPNパラメータγ込みで）：

太陽項が支配的で、(1+γ)GM☉/c³ ≈ 9.9 µs。対数の中身は幾何で決まり、 視線が太陽をかすめる（合 — 第3.3章）ほど分母が小さくなって遅延が伸びる。 太陽から離れた普通の幾何でも往復数十µs（10 km級）あり、常時入れる。 地球・惑星の項はns級だがcm精度では入れる。

公開事例：カッシーニ探査機の2002年合でのドップラ精密追跡は、 γ = 1 + (2.1±2.3)×10⁻⁵ という当時最高精度の相対論検証を与えた（公開文献）。 使われた道具は本書の道具立てそのもの — Ka帯多周波リンク（第3.3章のプラズマ除去）と 精密ドップラ（第2.3章） — である。航法の較正項と基礎物理の検証が同じ測定だという実例。

3.4.3 時計の相対論 — どこで時を刻むかで速さが違う

時計の進みは、重力ポテンシャルが深いほど・速く動くほど遅くなる：

地球表面の時計と太陽系重心の座標時の間には、この積分として 年周期の振幅約1.7 msの差（TT−TDBの周期項）と定数レート差が生じる。 探査機の時計（USO・SCLK — 第3.5章）も、軌道ごとに固有のレート差・周期差を持つ。 1-way観測（機上時計基準の観測量）やSCLK相関（第3.5章）では、 この変換を入れないと観測方程式が最初から破綻する。

3.4.4 実装の形 — どこに何を入れるか

実務では相対論は三か所に分散して実装される。場所を覚えておくと混乱しない：

1. 力学 — 運動方程式にポストニュートン補正項（太陽の1/c²項など）を足す（第1.2章の a_pert の一つ）
2. 経路 — 光行時間方程式（第2.2章）にShapiro項 Δ_rel を足す
3. 時計 — 全時刻タグを正しい時系（第3.5章）で解釈し、TDB⇄TT⇄固有時の変換を通す

三か所は同じ計量の一貫した近似でなければならない。 力学だけ相対論的で時計がニュートン的、という「つまみ食い」は系統誤差を作る。 標準の定式化（JPLのMoyer定式 — 第2.7章注記の公開文献）に従うのが安全で、 SPICE・主要ODソフトはこれを実装している。

第3.5章時系と時計 — TAI/TT/TDB と SCLK相関

3.5.1 時系の系譜 — 4つだけ覚える

実務の流れは一本道である： 観測はUTCで記録 → TAI・TTへ（定数とうるう秒表） → TDBへ（周期項変換） → 力学計算。 逆向きも同様。この変換チェーンのどこかで1段抜けると、 32.184 s（光で約10⁷ km！）や、うるう秒1 s、TT−TDBの1.7 msが系統誤差として現れる。 幸いどれも特徴的な大きさなので、残差を見れば「どの段を抜いたか」まで診断できる — 32秒級ならTT-TAI、1秒ちょうどならうるう秒、年周msならTDB変換である。

公開情報：うるう秒の挿入はIERSが公報（Bulletin C）で決定・公表し、 SPICEのLSKカーネル（第1.4章）や各種うるう秒表として配布される。 2035年ごろまでにうるう秒を廃止する方向が国際的に決議されており（2022年CGPM決議、公開）、 将来は「うるう秒表が更新されなくなる」— 時刻系も制度も変わり続ける前提で版管理すること。

3.5.2 SCLK — 機上のもう一つの時計

探査機は自分のクロック（SCLK：ミッション経過のカウンタ）で動く。 テレメトリの時刻も観測機器のタイムスタンプもSCLKである。 SCLKと地上時系（UTC/TT）の対応づけが時刻相関で、実務は：

1. 地上局がコマンド／パケットの送受時刻（地上UTC）を精密に記録する
2. 機上でそのパケットのSCLK受信時刻が記録される
3. 電波伝搬時間（＝レンジ！ 第2.2章）と機上処理遅延を差し引いて、SCLK⇄UTC対応点を得る
4. 対応点の列に時計モデル（オフセット＋レート＋…）をあてはめ、相関係数として配布する（SPICEのSCLKカーネル）

ここに美しい再帰がある：時刻相関にはレンジ（軌道）が要り、レンジ計測には時刻が要る。 実際には要求精度の差（時刻相関はms級で足りることが多い／測距はns級）が この循環を実用上ほどいている。ただし1-way観測（機上USO基準 — 電波科学や掩蔽）では 機上時計そのものが観測基準になり、時計モデルの精度が観測精度に直結する。

3.5.3 時計の確率モデル — アラン偏差という言葉

時計の品質は「どれだけ正確か」ではなく「どの時間スケールでどれだけ安定か」で語る。 その標準語がアラン偏差 σ_y(τ)：平均化時間 τ での周波数の相対的なばらつきである。

2-wayコヒーレント観測（第2.3章）が強いのは、 探査機の時計を使わず、地上メーザ1台で往復を閉じるからである — 機上USOの2桁悪い安定度が観測に入らない。 1-way・3-way（送受別局）では誰の時計がどこに入るかが変わり、 その分の時計パラメータを推定に加える（第5.6章）。

3.5.4 時計パラメータの推定

時計の誤差はオフセット・レート・エージング（レートのドリフト）の多項式＋確率揺らぎでモデル化し、 多項式係数は推定パラメータ（第2.7章の直接項）、揺らぎは確率過程（第4.7章）として扱う。 3-way観測の局間時計差、1-way観測のUSOドリフトが典型の推定対象である。 ここでも「決定論はモデルへ、確率は統計へ」（第1.5章）の分業が現れる。

第3.6章観測量誤差予算を組む

3.6.1 誤差の三つの性格

最重要の警告を先に：「たくさん測れば精度が上がる」はランダム成分にしか通用しない。 深宇宙の観測残差はたいてい時間相関が支配的で、 1秒レートのドップラを60秒に圧縮しても情報はほぼ失われない（第4.5章のデータ圧縮の根拠）。 逆に、バイアスを1/√Nで割って「平均精度」を誇る予算表は自己欺瞞である。

3.6.2 レンジ誤差予算（2-way・X帯・較正後の残差）

読み方：現代の2-wayレンジは雑音より系統（機器遅延系）が支配的である。 精度を上げたければ積分時間ではなく較正（第5.6章）に投資する — 予算表が投資判断を教える例である。

3.6.3 ドップラ誤差予算（2-way・X帯・60 s圧縮点）

ドップラは雑音の床（µm/s級）が異様に低く、実効精度は大気とプラズマの揺らぎで決まる。 だから天気と幾何（仰角・SEP角）で日々変わる — 重み（第4.2章）を固定値でなくパスごとに評価する運用には、この予算構造の裏付けがある。

3.6.4 ΔDOR誤差予算（X帯・典型セッション）

3.6.5 予算から重みへ — 第4部への受け渡し

推定器に渡すのは予算表そのものではなく、そこから導いた統計モデルである：

1. ランダム項 → 観測分散 σ²（重み行列 W = R⁻¹ — 第4.2章）。 圧縮レート（60 s点など）に合わせて換算する
2. バイアス項 → 推定パラメータに昇格（局バイアス b_st — 第2.2章の表）、 または consider parameter として共分散にだけ効かせる（第4.6章）
3. 相関項 → 確率過程（ガウス・マルコフ等 — 第4.7章）としてモデル化、 または相関時間程度までデータを間引いて「準白色」として扱う（実務の常套）

第4.1章推定問題の定式化

4.1.1 状態ベクトルの設計 — 何を「未知」と認めるか

推定する量の選択そのものが設計である。典型的な拡大状態：

「とりあえず全部推定」は誤り — パラメータを増やすほど解は柔らかくなり、 系統誤差を吸って軌道を歪める（第3.6章の「良すぎる残差」、第4.6章）。 状態設計は少なすぎず多すぎずの綱渡りであり、第4部全体がその判断材料を与える。

4.1.2 線形化 — 参照軌道の周りの小さな世界

力学も観測も非線形だが、良い初期推定（参照軌道）x* があれば、 その周りのずれ δx(t) = x(t) − x*(t) は小さく、一次展開が成り立つ。 さらに δx(t) は状態遷移行列でエポックのずれ δX₀ に引き戻せる（δx(t) = Φ(t,t₀)δX₀ — 第1.2章）から、 未知数はエポックの δX₀ ただ一つにまとまる：

左辺 δy が残差（O−C：観測引く計算）である。 非線形問題は「残差をδXの線形式で説明する」問題に化け、 解いたら参照軌道を更新してまた線形化する — この反復（微分補正）が第4.2章の骨格になる。 デリケートな点は一つだけ：初期推定が悪すぎると一次近似が壊れて収束しない。 打上げ直後・機動直後など「参照が粗い」場面の対処は第4.4章（非線形拡張）で扱う。

4.1.3 何を最小化するか — 重みつき二乗和

観測誤差 ε の共分散を R とすると、最小化すべき自然なコストは

R⁻¹ が重み：正確な観測ほど強く効く（第3.6章の予算がRの中身）。 このJを最小にする δX̂ が重みつき最小二乗解（第4.2章）である。 統計的な位置づけを三つの顔で持っておくと後の章が読みやすい：

• 幾何の顔 — 残差ベクトルを H の張る空間へ直交射影する（重み付き内積で）
• 最尤の顔 — εがガウスなら J の最小化は尤度の最大化と同じ
• ベイズの顔 — 事前情報 (X̄₀, P̄₀) を「仮想観測」として足せば事後最頻値（第4.2章のベイズ最小二乗、カルマンへの橋 — 第4.3章）

4.1.4 推定量の品質 — 三つの問い

教科書的なきれいな性質は「モデルが正しくεが白色ガウス」の世界の話であり、 実データは必ずその外にいる。第4部後半（4.6〜4.9）は全部、この「外」との戦い方である — と先に見取り図を示しておく。

4.1.5 記法の約束

第4.2章重み付き最小二乗とバッチ推定

4.2.1 正規方程式 — 解の骨格

∂J/∂δX = 0 から：

Λ = HᵀWH は情報行列 — 観測がもたらした情報の総和で、 各観測の寄与 HᵢᵀWᵢHᵢ の足し算になっている（だから逐次化できる — 第4.3章）。 その逆行列が事後共分散 P̂：解と同時に「どれだけ信じてよいか」が出るのが最小二乗の美点である。 P̂ の意味と限界（形式誤差 vs 実誤差）は第4.6章で深掘りする。

4.2.2 事前情報つき（ベイズ）最小二乗

前回の解や打上げ情報など、事前推定 X̄₀（共分散 P̄₀）があるなら「仮想観測」として足す：

データが弱い方向は事前が支え、強い方向はデータが上書きする。 弱い可観測性の成分（第4.8章）を安定化する実務の標準装備であり、 この式を時間方向に分解したものがカルマンフィルタになる（第4.3章の等価性）。 注意も対で：事前を強く与えすぎれば、間違った事前が答えを固定する。 P̄₀は「本当に信じている分だけ」申告する — Rと同じ規律である（第4.1章）。

4.2.3 数値の作法 — 正規方程式を「作らない」

HᵀWH を明示的に作ると条件数が二乗される（κ(HᵀH) = κ(H)²）。 桁の違うパラメータが混ざる拡大状態（位置kmとバイアスnsが同居）では致命的になりうる。 現代の実装は：

1. スケーリング — 各状態を代表誤差で無次元化してから解く（条件数の大幅改善）
2. QR分解 — W^{1/2}H を直接QR分解して三角系を解く（二乗を回避 — 平方根情報フィルタSRIFの思想）
3. 正規方程式を組む場合もCholesky分解で解き、逆行列は最後まで作らない

「逆行列を書いたら負け」は数値線形代数の一般則だが、 ODでは状態の桁差が極端なぶん、破ったときの罰も大きい。

4.2.4 反復 — 微分補正のループ

収束しない・振動するときの三大原因と対処： ①初期推定が粗すぎる（→データを一部に絞って粗く解いてから全量へ、または第4.4章） ②Hのバグ（→第2.7章の数値微分検算） ③状態の縮退（→第4.8章。縮退方向は事前情報で支えるか状態から外す）。

4.2.5 なぜ実務はバッチが基本なのか

• 反復再線形化が自然 — 全データで参照軌道を作り直せるので、非線形に強い
• データ編集と相性が良い — 外れ値の除去・重み変更（第4.9章）を全体を見て何度でもやり直せる
• 運用のリズムに合う — ODは「パスのデータが揃ってから、次の判断（予測配布・マヌーバ設計）までに解く」 という数時間〜日単位の営みであり、瞬時性への要求が薄い

逐次（カルマン）が勝つのは、リアルタイム性が本質の場面 — 機上自律航法（第5.7章）・着陸誘導 — である。両者の使い分けは次章で正面から扱う。

第4.3章逐次推定 — カルマンフィルタ

4.3.1 二拍子のアルゴリズム

状態推定 x̂ と共分散 P を、観測のたびに二拍子で回す：

読み方：予測で共分散は力学で伸ばされ（Φ P Φᵀ）、モデル不確かさで膨らむ（+Q）。 更新でカルマンゲイン K が「予測をどれだけ信じ、観測をどれだけ信じるか」を 共分散の比で自動配分する。K の分母 HP̄Hᵀ+R は イノベーション（予測残差）の予想分散 — 実測のイノベーションがこれと合うかが フィルタ健全性の監視量になる（第4.9章）。

4.3.2 バッチとの関係 — 同じ山を別の道で登る

「新しいデータが来たらバッチを回し直す」ことは今の計算機ならすぐできる — だから深宇宙の地上ODでは逐次性そのものの価値は小さい。 逐次を選ぶ本当の理由はQを通じて「忘れる」機能にある。次節。

4.3.3 プロセス雑音 Q — 忘却という機能

Q=0のフィルタは、全履歴を等しく信じ続ける。共分散は単調に縮み、 ゲインは0に近づき、新しい観測を聞かなくなる。 現実の力学モデルには誤差がある（第1.5〜1.6章の非重力・密度）から、 これは「間違った確信」への一本道である — フィルタ発散の古典的な機構。

Q>0 はこれを直す：予測のたびに共分散へ不確かさを注ぎ、 共分散に床を作り、ゲインを開き続ける。 効果として古いデータを指数的に忘れるフィルタになる — 時定数は QとΦの釣り合いで決まる。 「Qはモデル誤差の物理的申告であり、同時に忘却時定数の設計つまみ」という二面性を押さえること。 何をどうQに入れるか（SNC/DMC）は第4.7章の主題である。

4.3.4 発散と数値 — 平方根形式

フィルタの故障モードは二系統ある：

• 統計的発散 — Q・Rの申告が実態と乖離（Q過小が典型）→ 自信過剰 → 残差増大。 監視はイノベーションの統計検定（第4.9章）、対処はQの見直し（第4.7章）
• 数値的発散 — P の対称性・正定値性が丸め誤差で壊れる（(I−KH)P̄ 形は特に弱い）。 対処は平方根実装：Pの平方根因子（Cholesky因子）だけを伝播するSRIF/UDU分解 — 条件数が半分（平方根）になり、正定値性が構造的に保たれる

数値の教訓は第4.2章と同じ（二乗を作るな）である。 情報行列側で回す情報フィルタ形式は、事前情報ゼロ（P̄→∞）の初期化が自然にでき、 観測更新が「情報の足し算」になる — バッチとの等価性が最も見やすい形でもある。

第4.4章非線形への拡張 — EKF・UKF・粒子フィルタ

4.4.1 EKF — 参照を推定値で走らせる

拡張カルマンフィルタ(EKF)は、線形カルマン（第4.3章）の線形化点を 固定参照でなく最新の推定値 x̂ に置き直し続けるだけの変更である。 f・h は非線形のまま評価し、Φ・H だけ推定値まわりで作る。 軌道決定の文脈では「毎ステップ再線形化するバッチ」に近く、 非線形が中程度なら十分に働く。壊れ方も明確で：

• 初期誤差が大きいと、間違った線形化点で作ったゲインが誤差を増幅する（初期捕捉問題）
• 共分散が一次近似で運ばれるため、強い非線形では実分布よりP̂が楽観的になり、自信過剰型の発散（第4.3章）へ

4.4.2 UKF — 微分をやめて点で運ぶ

アンセンテッドカルマンフィルタ(UKF)は、線形化（ヤコビアン）を捨てる： 共分散を代表する2n+1個のシグマポイントを選び、 それぞれを非線形の f・h に「そのまま」通し、 通した点群から平均と共分散を再構成する。

利点：①ヤコビアン不要（実装が単純・微分不能なモデルも可）、 ②平均・共分散が二次精度（EKFは一次）— 強い非線形での自信過剰が緩和される。 費用：f・h の評価が2n+1回（拡大状態のnが大きいと効く）。 軌道決定では「Φを変分方程式で持つ既存資産（第1.2章）」があるためEKFの実装コストが低く、 UKFの相対的な旨味はモデルが微分しづらい場面（接触力学・大気飛行など）で大きくなる。

4.4.3 粒子フィルタ — 分布そのものを運ぶ

ガウス近似すら捨てたいとき — 分布が多峰になるとき — の道具が粒子フィルタである。 状態空間に多数の粒子（仮説）をばらまき、各粒子を力学で伝播し、 観測との整合度（尤度）で重み付け・リサンプリングする。 深宇宙で多峰性が本当に現れる場面は限られるが、確かにある：

• 初期軌道決定 — 短い観測弧では複数の軌道仮説が同程度に観測を説明する（角度のみ観測の古典的問題）
• あいまい解決 — 測距のあいまい範囲（第2.2章）・電波位相の整数不定性が仮説の離散集合を作る
• 地形相対航法 — 似た地形（クレータの取り違え）が対応づけの多峰性を作る（第2.5章）

次元の呪い（粒子数が状態次元に対して指数的に要る）のため、 6次元フルの軌道推定に素朴に使うのは重い。 実務は多峰性のある低次元部分だけ粒子・残りはカルマン系という混合（Rao-Blackwell化）が定石である。

4.4.4 壊れの診断と選択基準

簡便な非線形性の診断は「共分散の端を非線形で伝播してみる」ことである： ±1σ・±3σ点をfに通し、線形伝播（ΦPΦᵀ）の予想と比べる。 ずれが共分散の数%を超えたら一次近似は要注意 — UKFのシグマポイントは、 まさにこの診断を推定器の中に常設したものと言える。

第4.5章平滑化とデータアーク設計

4.5.1 平滑化 — 未来が過去を正す

フィルタの推定 x̂(t_k) は時刻 t_k までの情報しか使わない。 アーク全体が終わった後なら、t_k より後の観測も t_k の状態推定に使えるはずである。 これが固定区間平滑化（RTS平滑化）：前向きフィルタの結果を保存し、 後ろ向きの漸化式で各時刻の推定を補正する。

効果はアークの前半で大きい（後半はもともと大半の情報を使えている）。 Q=0ならバッチ解と一致する — つまりバッチは「生まれつき平滑化されている」。 平滑化が独自の価値を持つのは Q>0 の世界（第4.7章）である： プロセス雑音で「忘れながら」推定した軌道を、後から全情報で均す — エアロブレーキング再構築・精密軌道の事後決定の標準手順がこれである。

4.5.2 アークの長さ — 統計とモデルの綱引き

最適な長さは「モデル誤差の成長が統計の利得を食い始める点」で決まり、 ミッション・フェーズごとに違う。巡航なら数週間、 低高度周回（重力場誤差が支配 — 第1.3章）なら数日〜1日以下、が典型の桁である。 共分散解析（第4.6章）でアーク長を振って予測精度を比べれば、定量的に決められる。

4.5.3 アーク境界の置き方

1. マヌーバで切る — 大きなΔVの前後で解を分けるのが最も安全。 跨ぐ場合はΔVを推定パラメータに（第5.2章）
2. 合で切る — プラズマ荒れの区間（第3.3章）をアークの中央に入れない
3. イベントに合わせる — 解を使う時刻（TCM設計・接近）がアーク終端の近くに来るよう切る （外挿距離の最小化 — 第5.4章の予測劣化）
4. エポックはアーク内に — 第4.1章Q&A。数値条件と外挿の観点から

4.5.4 重なりアーク — 解の整合性という検査

この検査はODの品質保証の定番であり、 「昨日の解と今日の解が言うことが違う」を定量化する道具でもある。 差の時系列に周期構造があれば、そこからモデル誤差の犯人（重力場か・SRPか）の 見当までつく（第4.9章の診断へ続く）。

4.5.5 収束しない・解が渡らないときの切り分け

1. データを半分に割って別々に解く — 片方だけ悪ければデータ異常（第4.9章）、 両方悪ければモデルか初期値
2. 観測種別を落として解く — レンジのみ／ドップラのみで解が動く量から、 どちらの系統誤差かを切り分ける（第3.6章の予算と突き合わせ）
3. アークを短くして解く — 短アークで収束するなら、長アークで蓄積するモデル誤差が犯人
4. パラメータを固定して解く — 拡大状態を絞って安定化し、一つずつ解放して犯人を特定

共通の思想は二分探索である。推定は多くの要素の合成なので、 「全部入り」のまま睨んでも原因は見えない — 半分にして比べる、を機械的に繰り返す。

第4.6章共分散解析と consider parameter

4.6.1 形式共分散はなぜ楽観か

P̂ = (HᵀWH)⁻¹（第4.2章）に入っている仮定を数えると： ①誤差は白色（相関なし）、②Rの申告が正確、③モデル（force・観測）は完璧、 ④線形近似が妥当。第3部で見たとおり①②③は現実には破れており、 とくに時間相関誤差を白色扱いすると、N点の平均効果を過大評価する （第3.6章：1/√Nはランダムにしか効かない）。 経験則として「実誤差は形式σの数倍」がしばしば語られるが、 倍率は誤差構造に依存する — だから倍率で誤魔化さず、構造をモデルに入れるのが本章の道具である。

4.6.2 consider parameter — 推定しないが、無視もしない

不確かな量 p（局位置・暦・重力係数…）を推定に入れると、 観測が弱ければ系統誤差を吸って解を歪める（第4.1章）。 入れずに無視すれば共分散が楽観になる。第三の道がconsider： 推定はしない（値は固定）が、その不確かさ C_p を共分散にだけ伝える。

感度 S は「pが1σずれたら解がどれだけ引きずられるか」であり、 推定の副産物として計算できる。considerつき共分散 P_c は形式P̂より必ず大きい — 「知らないことを知っている」ことの数学的表現である。

どの箱に入れるかの感度チェックは機械化できる： 各候補pについて S·C_p·Sᵀ の寄与を並べ、効かないものを定数へ落とす — これが誤差予算（第3.6章）の「軌道版」であり、次節の共分散解析そのものである。

4.6.3 共分散解析 — 観測を取る前に精度を設計する

H・R・C_p は観測の実データなしに計算できる（幾何と統計モデルだけで決まる）。 つまり「この追跡計画なら、この時刻の位置誤差はこうなる」が飛ぶ前に出せる。 これが共分散解析であり、用途は：

• 追跡計画の設計 — パス数・観測種別・ΔDOR投入の費用対効果を比較（第5.1章の③はこれ）
• 要求の検証 — 「TCM時点で位置1 km」が達成可能かの事前証明（ミッション設計への回答）
• アーク長・データ重みの感度試験（第4.5章）

共分散解析の結論は「何を測るか」だけでなく「何がconsiderで効いているか」を必ず添える。 「ΔDORを2セッション足すと横方向が半分になる — ただし残る誤差の主因は暦consider」 という形の報告が、投資判断（もっと追跡するか・暦の更新を待つか）を可能にする。

4.6.4 伝播 — 誤差楕円は時間とともに形を変える

エポックの共分散は Φ で任意時刻へ運べる：P(t) = Φ(t,t₀)P₀Φᵀ(+ 過程雑音項)。 深宇宙で覚えておくべき変形の型は二つ：

• 沿道方向への伸長 — T方向速度誤差が沿道位置誤差に化けて成長する（第1.1章）。 予測が長いほど誤差楕円は「軌道に沿った葉巻」になる（第5.4章の予測劣化の形）
• B平面への写像 — 接近解析では共分散をB平面（第5.3章）に落とし、 到達誤差楕円として可視化する。マヌーバ設計・衝突確率評価の共通言語である

4.6.5 共分散を検証する — 三点セット

1. 重なりアーク差（第4.5章） — 独立解の差が P_c の予言と合うか
2. 予測対実績 — 予測した軌道と後の確定軌道の差を、伝播した P_c と比べる（第5.4章の運用データがそのまま検証データになる）
3. マヌーバ再構築・接近実績 — B平面予測と実際の到達点の差の統計（ミッションをまたぐ長期の検証）

三点とも「P_cが説明できない差」が出たら、consider の顔ぶれか C_p の大きさが実態と合っていない。 共分散は主張であり、検証可能である — 検証されない共分散に基づく衝突確率・成功確率は数字遊びである。

第4.7章力学モデル誤差の扱い — SNC と DMC

4.7.1 問題の形 — 加速度の誤差は速度・位置に積もる

未知の加速度誤差 δa(t) は、時間とともに δv = ∫δa dt、δr = ∬δa dt² として蓄積する。 加速度が10⁻¹² km/s²（SRPの1%誤差の桁 — 第1.5章）でも、 1日で δv ≈ 0.09 mm/s（ドップラで見える！）、10日で δr ≈ 0.4 km、100日で 37 km。 「小さいから無視」が通用しないのは積分器の中で二回積もるからである。 モデルに書けない以上、統計として扱う — その書式が Q である。

4.7.2 SNC — 白色加速度という最も単純な申告

State Noise Compensation：加速度誤差を分散スペクトル密度 σ²_a の白色雑音と見なし、 伝播時間 Δt に対して

Δt³・Δt²の構造が「加速度が二回積もる」ことの共分散版である。 SNCの美点はつまみが一つ（σ_a）であること。 RTN方向別に σ_a を変える程度の拡張で、実務の大半はこれで回る。 弱点は「白色」という嘘 — 実際のモデル誤差（SRP・密度）は時間相関を持つ（第3.6章）。 相関のある誤差を白色Qで吸わせると、必要以上に大きなσ_aが要り、 その分だけ推定が緩く（メモリが短く）なる。

4.7.3 DMC — 誤差そのものを推定対象にする

Dynamic Model Compensation：未知加速度 w(t) を 一次ガウス・マルコフ過程として状態ベクトルに加える：

運動方程式には r̈ = … + w が入り、フィルタはw自体を観測から推定する。 τ→0 でSNC（白色）に、τ→∞ でバイアス（定数加速度の推定）に漸近する — SNCと定数推定を両端に持つ連続的な一般化である。DMCの価値は二つ：

• 推定されたw(t)の履歴が診断情報になる — wが特定の周期（軌道周期・自転周期）で振れていれば、 その周期の物理（重力場・熱 — 第1.3章・第1.5章）を疑う手がかりになる。 「消す」だけでなく「読む」ことができる
• 相関を正しく持つ分、同じ吸収力でも推定のメモリが長い — パラメータ推定（C_r等）との共存がよい

4.7.4 パラメータの決め方 — 物理から出発する

1. σ（大きさ）：第1部の誤差見積りから — SRPの数%、密度モデルの数十%等を加速度に換算。 「予算表（第3.6章）の力学版」を先に作る
2. τ（相関時間）：誤差源の物理時定数から — 姿勢イベント間隔・自転/軌道周期・気象時定数。 迷ったら「観測パス間隔と同程度」が実務の初期値としてよく機能する
3. 検証：イノベーション統計（第4.9章）が白色・分散整合になるか、 推定wが申告σの範囲で振る舞うか、で答え合わせして調整する

4.7.5 やりすぎの弊害 — Qは消しゴムではない

Qで何でも吸えるからこそ、規律が要る： ①Qは物理の見積りから出発し、チューニングは検証統計に基づく微調整に留める。 ②系統誤差（較正で取るべきもの — 第3部）をQで誤魔化さない — 吸えてしまうが、原因は残り、予測で仕返しされる。 ③Qを入れた推定の成果物は平滑化してから配る（第4.5章）。

第4.8章可観測性とクラメール・ラオ下限

4.8.1 可観測性 — 情報行列のランク

ある状態成分（の線形結合）が観測から決まるとは、 その方向が H の行空間に含まれることである。判定は情報行列で：

ランク落ちの方向（Λの零空間）は観測が何も語らない方向であり、 解けば数値誤差か事前情報が勝手に決める — 見かけ上「答え」は出るのが怖いところである。 深宇宙ODの古典的なランク落ち・縮退の例：

4.8.2 弱可観測 — ランクはあるが力がない

実務で出会うのはランク落ちより弱可観測 — 固有値が桁違いに小さい方向 — である。 症状：その方向の推定が事前情報・データ編集にひどく敏感で、 アークを少し変えると解が大きく振れる。 情報行列の固有値分解（またはHの特異値分解）で定量化でき、 条件数（最大/最小固有値比）が数値の危うさ（第4.2章のスケーリング）と直結する。 対処の優先順位：①観測を足して幾何を変える（ΔDOR・アーク延長）、 ②事前情報で支える（第4.2章 — 正直なP̄₀で）、③その方向を諦めて固定する。

4.8.3 クラメール・ラオ下限 — 原理の床

不偏推定量の共分散には下限がある：

ガウス・線形の世界では最小二乗がこの下限を達成する — つまり形式共分散P̂はCRBそのものであり、「これ以上は観測を変えるしかない」の床である。 使い道は設計にある：どんな推定アルゴリズムの工夫でもCRBは破れないから、 精度が足りなければアルゴリズムでなく観測（幾何・種別・精度）を変えるべきだと 即断できる。共分散解析（第4.6章）はCRBの計算に他ならない。

4.8.4 幾何が情報を作る — H の中身を見る

フィッシャー情報は感度 H の「向きの多様性」で決まる。 H = (∂h/∂x)Φ（第2.7章）だから、情報を増やす道は二つ： 観測の向き ∂h/∂x を変える（別の観測種別・別の局＝別の視線）か、 力学 Φ に時間を与える（待てば軌道が幾何を変えてくれる）。 「同じ観測を同じ幾何で反復しても情報は1/√Nでしか増えず、 新しい向きの観測1点が桁で効く」— レンジ1点の価値（第5.1章の例）の理論的正体である。

4.8.5 実務の読み方 — 相関行列という診断書

共分散 P̂ を正規化した相関行列（対角1、非対角が±1に近いほど縮退）は、 推定の健康診断書である。読み方の型：

1. |ρ| > 0.99 の組を列挙する — その2パラメータは実質1個しか決まっていない。 片方を固定するか、まとめるか、幾何が変わるのを待つ
2. 解が暴れるパラメータの行を見る — 高相関の相手が犯人であることが多い
3. アーク・観測を変えたときの相関の変化を見る — ΔDORを1点足して相関が落ちれば、 それが「効く観測」の直接の証拠（第4.6章の共分散解析と同じ操作）

第4.9章データ編集とロバスト推定

4.9.1 外れ値はどこから来るか

最後の行が本章の最大の注意である： 外れ値処理は「データが悪い」という仮説の実行であり、 本当はモデルが悪いとき、編集は証拠隠滅になる。

4.9.2 自動編集 — 3σの罠

標準の自動編集は残差のNσ判定（|残差| > N×予測σで棄却、N=3〜5）である。 有効だが、二つの構造的な罠を知って使う：

• マスキング — 強い外れ値が解を引きずり、正常点が3σ外に出て、 外れ値本人は3σ内に残る。対策：編集は反復の各周で軽く、収束につれて厳しく （最初から3σで刈らない）。初期反復は中央値ベースの頑健な尺度でσを見積もる
• 切りすぎの自己実現 — 刈るほど残差は小さくなり、σが縮み、さらに刈れる。 「棄却率が数%を超えたら手を止めて原因を見る」という上限則を機械側に入れておく

4.9.3 ロバスト重み — 捨てる代わりに軽くする

二値の棄却（使う/捨てる）の代わりに、大きな残差の重みを連続的に下げる： Huber型（閾値まで二乗・先は線形）やその類種である。 利点は境界の恣意性が消え、マスキングに強いこと。 実務では「ロバスト重みで収束させ、最終解の残差で改めて編集を確定し、 確定編集で通常の最小二乗を最終実行」という二段構えが、 頑健さと（共分散の解釈しやすい）標準理論の両取りとしてよく使われる。

4.9.4 残差の検査 — 白色・正規・整合の三点

「収束した」の宣言（第4.2章）に含めるべき統計検査：

1. 白色性 — 残差の自己相関・連の検定。時間構造が残れば、 相関誤差（第3.6章）の扱い漏れかモデル誤差（第4.7章）
2. 正規性・分散整合 — 残差RMSが申告Rと合うか（residual ratio ≈ 1）。 フィルタならイノベーションが予測分散（第4.3章）と合うか
3. 構造の目視 — 時刻・仰角・局・パス別にプロットして眺める。 機械検定より人間の目が早く見つけるパターン（パス単位の段差・仰角依存）は実在する

4.9.5 編集の規律 — 削った記録は成果物である

1. 原データは不変 — 編集はフラグで表現し、元の値を上書きしない
2. 全編集に理由コード — 自動（Nσ）か手動か、手動なら根拠（RFI記録・運用ログとの突き合わせ）
3. 棄却率を成果物に記載 — 解の報告（第5.4章）に「何%をなぜ削ったか」を添える。 棄却率の推移自体が局・機器の健全性指標になる（『地上局工学』第7.2章）
4. 削った側も保存 — 後日モデルが改良されたとき、 「外れ値」が実は信号だったと分かる例（未知の摂動・イベント）は歴史上実在する

第5.1章追跡スケジュールの設計 — いつRARRを取り、いつΔDORを打つか

5.1.1 RARRとは何を指すか

RARR（Range And Range Rate）は、レンジとドップラを組にして取る標準的な追跡モードを指す。 現場では「今日のパスはRARRあり」「このパスはドップラのみ」という言い方をする。 レンジを打つかどうかが運用上の選択肢になるのは、第2.2.6で見たとおり レンジ変調が搬送波とテレメトリから電力を奪うからである。

したがって追跡計画の最小単位は「1パスで何を取るか」であり、 その選択肢は概ね次の4つになる。

5.1.2 1パスの中の時間割

1パスは概ね次の順序で進む。ここで重要なのは、 使える時間の全部が観測に使えるわけではないということである。

時間を食うのは2箇所である。

往復光時間による待ち。上りを掃引して機上のPLLがロックしたかどうかは、 RTLTが経過するまで地上では分からない。火星なら20〜40分、外惑星なら数時間。 仰角10度以上の可視が6時間しかないパスで、RTLTが2時間なら、 2-way観測ができるのは実質4時間である。この待ちは短縮できない。

測距の捕捉時間。第2.2.8で見たとおり、成分符号ごとの位相推定に時間がかかる。 弱いリンクでT4B符号を使えば数分から十数分。 パスの終わり際に測距を始めても、捕捉が終わる前にLOSになる。

5.1.3 いつレンジを取るか — 幾何から決める

レンジは視線方向しか拘束しない（第2.2.11）。したがって 視線方向が変わったところで取り直すことに価値がある。 同じ幾何で何点取っても、情報は雑音の平均化ぶんしか増えない。

視線方向が有意に変わるのは次の3つの時間スケールである。

• 1パス内（数時間）: 地球自転で局が動く。第2.3.6の署名と同じ幾何。 パスの前半と後半で最低2点は欲しい
• 日単位: 地球自転が一巡し、かつ探査機が動く。異なる時間帯のパスを混ぜると効く
• 週〜月単位: 地球公転と探査機の軌道運動。これが最も大きく幾何を変える

実務的な出発点としては、巡航中は週2〜3回のRARRパス、 イベント前は毎日、というのが一つの目安になる。 ただしこれは目安であって、正しくは第4.8章の情報行列で決める。 「週2回で足りるか」は、要求精度と力学モデル誤差を入れて共分散を伝播すれば答えが出る。

5.1.4 いつΔDORを打つか

ΔDORは高価である。2局を同時に占有し、較正天体のスケジュールを組み、 生データを転送して相関処理する。したがって効くところに絞って打つ。

効くのは、横方向誤差が運用判断を左右する場面である。具体的には次の5つ。

逆に、巡航中の平常時にΔDORを打っても費用対効果は低い。 横方向誤差がゆっくり成長しているだけの期間なら、 ドップラの1日周期署名（第2.3.6）が押さえてくれる範囲で足りることが多い。

1セッションで決まるのは1方向成分だけ（第2.4.7）である点にも注意がいる。 2次元の横方向を押さえたいなら、方向の異なるベースラインで2セッションを組む。 これは「同じ局ペアで時間をずらす」（地球自転でベースラインの向きが回る）か、 「別の局ペアを使う」かのどちらかになる。

5.1.5 フェーズごとの追跡計画

5.1.6 RARRの結果は、軌道決定にどう化けるか

ここが本章で最も重要な節である。「レンジを1点取ると軌道がどれだけ良くなるのか」に 定量的に答えられるようにする。

第4.2章で見たとおり、観測を1点加えることは情報行列に1項を加えることである。

この式から3つのことが読める。

① 効くのは σ ではなく 1/σ²。精度が2倍の観測量は、情報としては4倍の価値がある。 逆に言えば、精度の悪い観測量をたくさん足しても、良い観測量1点に及ばないことがある。

② 効くのは H の向き。H が既に良く決まっている方向を向いていれば、 その観測はほとんど情報を足さない。幾何が変わらないうちに何点取っても無駄というのは、 この式の直接の帰結である。

③ Λ_0（事前情報）と競合する。既に精度が高い状態では、 新しい観測1点の寄与は相対的に小さくなる。収束したあとは頻度を落としてよい。

ではドップラはどうか。ドップラ1点も視線方向（の変化率）を測るが、 第2.3.6の署名により1パス分を積み上げると横方向にも効く。 ただしその効き方は「1日周期の正弦の振幅と位相」という形なので、 パスの一部だけでは分離できない。ドップラは点で効くのではなく、 パス全体の形で効く観測量である。

ΔDORは1セッションで横方向を直接叩く。例2.4-1の2.2 nradは、 1 auで330 m。上の例で横方向5 kmだったものが、1セッションで330 mになる。 ドップラを何週間積んでも届かない領域に、1回で到達する。

5.1.7 観測が軌道決定を通って予報になるまで

取った観測量が運用に返るまでの一巡を、時間つきで押さえておく。

この一巡にかかる時間が、追跡計画の設計に効いてくる。 たとえば「TCMの2日前までに軌道を確定したい」なら、 その一巡の時間を逆算して最後のパスをいつに置くかが決まる。 前処理と軌道決定に半日、レビューに半日、予報生成と配布に半日かかるなら、 最終パスはTCMの3日半前に置かなければ間に合わない。

予報の側にも有効期限がある。予報位置誤差が大きくなると、 局のアンテナ指向が外れ、上り掃引の範囲が足りなくなる（第5.4章）。 「何日ごとに予報を更新するか」は、予報誤差の成長率から決まる。 この計算も共分散伝播（第4.6章）でできる。

5.1.8 局への要求の書き方

追跡計画は最終的に局への要求として文書になる。技術者として書くべき項目は次のとおり。

• いつ: 期間、パス数、1パスの長さ、優先度
• どの局: 局の指定、ΔDORなら局ペアと組む時間帯
• 何を取るか: ドップラ（計数区間の指定を含む）、レンジ（符号系・チップレート）、ΔDOR
• 制約: 最低仰角、測距開始の目安時刻、テレメトリレートとの優先関係
• 根拠: なぜその頻度・その局・そのタイミングなのか

最後の「根拠」が本章の主題である。局の時間は有限で、他ミッションと取り合いになる （姉妹書『地上局工学』第7.1章）。 「要りそうだから」では通らず、「これを削るとB平面誤差が○km増え、TCMのΔVが○m/s増える」と言えれば通る。 共分散解析はそのための道具でもある。

5.1.9 資源競合と折り合い

要求どおりのパスが取れないことは日常的に起きる。そのときに何を諦めるかの優先順位を、 あらかじめ決めておくのが実務である。

ここでも判断の根拠は共分散である。「取れなかった場合にどうなるか」を事前に計算しておけば、 交渉の場で即答できる。これは技術の問題であると同時に、組織の中で仕事を通す技術でもある。

第5.2章マヌーバの推定と再構築

5.2.1 モデル化 — インパルスと有限推力

低推力（電気推進）は「常時吹きっぱなし」であり、 マヌーバというよりモデル化すべき力（第1.5章の仲間）に近い。 推力モデル（スロットル・向き履歴）を力学に入れ、 スケール係数を推定する — DMC（第4.7章）と地続きの扱いになる。

5.2.2 アークの切り方と ΔV 推定

マヌーバ前後の扱いは三択である（第4.5章の応用）：

1. 切る — 前後を独立に解く。最も安全。前アークの終端状態と後アークの始端状態の差が 「実行されたΔV」の推定になる（差分法）
2. 跨いで推定 — ΔVをパラメータ（第2.7章の直接項）に入れて一本のアークで解く。 前後のデータが互いを強め、ΔVの形式精度も出る。標準のやり方
3. 跨いで固定 — 計画値を信じて推定しない。小さなアンローディングでのみ許される（それでも推定が安全）

跨ぐ場合の実務則：マヌーバ直後に十分な観測があること。 直後のデータがないと、ΔV誤差とその後の伝播誤差が絡んで分離が弱くなる （可観測性 — 第4.8章）。「マヌーバ後の最初のパスは落とすな」は追跡計画（第5.1章）の定番要求である。

5.2.3 実行誤差 — 計画とのずれを統計にする

再構築ΔV と計画ΔV の差が実行誤差である。慣例のモデル（Gates型）は 大きさ比例成分＋固定成分、それぞれ噴射方向と直交方向で分ける：

係数（k：比例、σ₀：床）はミッション累積の再構築統計から更新していく。 この統計が次のマヌーバの共分散（B平面誤差楕円 — 第5.3章）に入り、 TCM回数・推薬予算の設計（Systems-Engineering側）へ波及する — 再構築は過去の精算であると同時に、将来の誤差モデルの供給源である。

5.2.4 予定外の加速度を検出する

セーフモード遷移のスラスタ噴射、予定外のアンローディング、脱ガス（第1.5章）。 検出の入口はいつも同じ — 残差の構造（第4.9章）である： ある時刻を境に残差が傾き始めたら、その時刻に未知ΔVを仮置きして解き、 有意な値が立つか・残差が白色に戻るかを見る。 時刻自体が未知なら、残差の折れ点探索（区分フィットのF検定）で当たりをつける。 検出したΔVは運用ログ（姿勢イベント・機器状態）と突き合わせて物理を同定する — 「読めない加速度」三段構え（第1.5章）の実戦形である。

5.2.5 ループを閉じる — 再構築から次の計画へ

第5.3章B平面と到達誤差楕円

5.3.1 定義 — 漸近線に垂直な的

接近双曲線の入射漸近方向を Ŝ（V∞の向き — 第1.1章）とする。 天体中心を通りŜに垂直な平面がB平面、 Bベクトルは天体中心から「重力がなければ探査機が貫く点」までのベクトルである。 平面内の座標軸は慣例で T̂（Ŝに垂直で基準面—通常は黄道またはその天体の赤道—に平行）と R̂ = Ŝ×T̂ を取り、(B·T, B·R) の2数で到達点を表す。

5.3.2 共分散の写像 — 6次元から2次元へ

エポックの状態共分散 P を接近時刻へ伝播し（第4.6章）、 B平面パラメータへの感度行列 K = ∂(B·T, B·R)/∂x で射影する：

楕円には確率レベルを必ず添える：2次元ガウスでは1σ楕円の被覆確率は39%にすぎず、 99%には約3.03σが要る。「1σ楕円が天体に触れていないから安全」は それだけでは何も言っていない — 確率の読み違いはこの平面で最も多い事故である。 到達時刻の誤差（Ŝ方向 — 楕円には出ない）も別途一言添える。

5.3.3 運用判断 — TCMを打つか

接近中の判断は「現在の推定到達点＋誤差楕円」対「目標点＋許容域」の比較で行う：

1. ずれが楕円に対して有意でなければ見送り（統計的に無意味な補正はしない — 補正すれば実行誤差（第5.2章）を新たに注入するだけ）
2. 有意なら、TCMの大きさ・時期をトレード：早いTCMは安い（同じB平面修正に要るΔVは 到達までの時間に反比例して減る）が、早い時点の軌道解は粗い。 「解が固まるのを待つ利得」と「待つほど高くなる補正」の均衡点が実務のTCM時期であり、 共分散の時間発展（第4.6章）がその計算を与える
3. 最終TCM後は「打てるカードがない」— だから最終TCM前に集中追跡・ΔDOR（第5.1章）を置き、 楕円を最小にしてから最後の一手を打つ

5.3.4 惑星保護 — 楕円と天体の距離

惑星保護（生命探査対象の汚染防止）の要求は、B平面上では 「非目標天体への衝突確率の上限」として現れる（例：巡航段の衝突確率10⁻⁴以下など、 ミッション区分に応じた公開の要求値がある — COSPAR方針・各機関規程）。 計算はP_B と天体断面（重力フォーカシングで拡大した実効半径）の重なり積分である。 実務上の重要な帰結がバイアス照準： 巡航中は意図的に天体を外した点を狙い、最終盤のTCMで初めて目標に載せる。 「途中で機能停止しても衝突しない」経路設計であり、 MMXの分離モジュールの扱い（『宇宙機システムズエンジニアリング』併読）とも同じ思想である。

5.3.5 伝え方 — 誤解されない楕円の作法

1. 確率レベルを図中に明記（「99%楕円」）— 1σ楕円だけの図は誤読を誘う
2. スケールバーと天体を同じ図に — 楕円だけ拡大した図は安心・不安を等しく誇張する
3. 時系列で並べる — OD更新ごとの楕円の縮小と中心の移動を同一スケールで。 「解が収束しつつあるか」が一目で伝わる（会議で最も効く図）
4. 到達時刻誤差・使用した実行誤差モデル（第5.2章）を欄外に付記する

第5.4章予測の配布とループを閉じる

5.4.1 配るものの棚卸し

供給形態の実務標準はSPKで軌道を配り、下流が各予報を計算する形 （計算の一貫性が保たれる）。ただし局のレガシー系・他機関切りには 点列・専用フォーマットの変換が入る — 変換もまた事故源であり、第5.5章の主題になる。

5.4.2 有効期限 — 予測誤差の成長則

アークの外に出た軌道は、観測の拘束を失いモデルだけで飛ぶ。 誤差の成長は（第1.1章のT方向成長・第4.6章の伝播のとおり） 沿道方向が支配的で、時間の1〜2乗で伸びる。成長速度を決めるのは：

• エポック速度誤差（アークの出来 — 第3.6章の予算）
• モデル誤差（SRP・重力場 — 第1部）：これが利くと成長は加速的になる
• 予定・予定外のマヌーバ（第5.2章）：跨いだ予報は実行誤差ぶん即座に劣化する

実務は「予報の賞味期限」を共分散の伝播（第4.6章）で定量化して配布に添える。 巡航なら週単位で余裕、近傍運用では日〜時間単位、という桁の差が出る。 更新頻度はこの期限から逆算して決まる — 「毎週更新」は慣習でなく計算の結果であるべきである。

5.4.3 周波数予報と掃引 — 捕捉の物理

受信機が探査機の信号を捕まえるには、 予測周波数の誤差が捕捉帯域に収まっていなければならない。 視線速度誤差 δv は受信周波数誤差 δf = f·δv/c に化ける： X帯で δv = 1 m/s → δf ≈ 28 Hz。狭帯域ループ（弱信号時 — 『宇宙通信』第3部）の 捕捉幅は数Hz〜数十Hzであり、m/s級の速度予報誤差が捕捉可否を分ける。

上り側はさらに繊細である：探査機のトランスポンダに確実にロックさせるため、 地上局は予測ドップラを補償した上で掃引（周波数スイープ）をかける（『地上局工学』第6.1章）。 掃引プロファイル（中心・幅・速度）はODの予測共分散から生成される — 不確かさが大きいほど広く・ゆっくり掃く。 緊急時（軌道が粗い）に掃引幅を思い切って広げる判断も、共分散が根拠を与える。

5.4.4 予報失敗の症状学

重要な視点：失敗した捕捉の記録は観測データである。 「どれだけずらしたら捕まったか」は粗い観測量として次の解を助ける — 緊急時運用（セーフモードからの復旧）では、この「捕捉の考古学」が最初の軌道情報になる。

5.4.5 ループを閉じる — 鼓動としてのOD

第5.5章追跡データと航法データの標準形式 — TDM・OEM・TLE

5.5.1 なぜ形式で事故が起きるのか

観測量の数値そのものは単純な浮動小数点である。事故はいつも周辺で起きる。

• 時刻タグが送信時刻なのか受信時刻なのか
• ドップラの時刻が計数区間の開始・中央・終了のどれか
• レンジの単位が km なのか秒なのか RU（レンジユニット）なのか
• すでに適用済みの補正はどれで、まだ適用していない補正はどれか
• 参照系が ICRF なのか J2000 なのか EME2000 なのか、中心天体は何か

これらはすべてメタデータで定義される。数値だけ受け取っても観測方程式は組めない。 標準形式の価値は、この定義の受け渡しを取り決めた点にある。

5.5.2 TDM — 追跡データメッセージ

TDM（CCSDS 503.0-B系）は、局が生成した観測量を運ぶ形式である。 構造は3層になっている。

メタデータブロックは複数置ける。局が変わる、モードが変わる、といった区切りごとに 新しいメタデータを置いて定義を切り替える。

軌道決定側が必ず確認すべきメタデータを挙げる。

ΔDORもTDMで運ばれる。この場合、較正天体の識別子、ベースラインを構成した局、 スパンド帯域といったメタデータが不可欠になる。第2.4.9で述べたとおり、 これらが欠けると受け取った側は観測量をモデル化できない。

5.5.3 ODM — 軌道データメッセージ

軌道の側にも標準形式がある。用途によって4種類が使い分けられる。

深宇宙の実務で最もよく使うのはOEMである。中身は時刻・位置・速度の表であり、 使う側は補間して任意時刻の状態を得る。ここで見落とされやすいのが次の3点。

① INTERPOLATION と INTERPOLATION_DEGREE。 OEMは「この点列をこの方式・この次数で補間せよ」という指示を含む。 指示を無視して線形補間すれば、点間隔と軌道の曲がり方によっては キロメートル級の誤差が入る。第5.8章のSTKに読み込ませるときも同じである。

② REF_FRAME と TIME_SYSTEM。 参照系（ICRF / EME2000 / ITRF …）と時系（UTC / TAI / TT / TDB）は必ず確認する。 時系を1つ間違えると、TAIとUTCの差だけで数十秒、探査機速度30 km/sなら 1000 km級の位置誤差になる。

③ CENTER_NAME。中心天体が地球か太陽系重心か対象天体かで、 同じ数値がまったく別の意味になる。惑星到達前後で中心を切り替える運用では、 この取り違えが起きやすい。

5.5.4 TLE — 使ってよい場面と、使ってはいけない場面

TLE（Two-Line Element set）は地球周回物体の軌道を2行のテキストで表す形式である。 広く流通しているため深宇宙の現場でも目にするが、性質を誤解したまま使うと必ず事故になる。

最も重要な事実は次の一点に尽きる。

TLEの離心率や軌道傾斜角を「軌道要素」として読み取り、 第1.1章の変換式で状態ベクトルに直して数値積分する——これは典型的な誤りである。 SGP4の平均要素は短周期項が特定の方法で除去されており、 瞬時要素とは数十km相当の差がある。正しい手順は 「TLE → SGP4で伝播 → 得られた状態ベクトル → そこから先は自分の伝播器」である。

精度についても正しい期待値を持っておく。

深宇宙探査機にTLEは使えない。SGP4/SDP4は地球中心の摂動理論であり、 太陽中心の軌道や惑星間軌道を表現できない。深宇宙ではOEMかSPICEカーネルを使う。

ではTLEをいつ使うか。深宇宙ミッションの文脈では次の2つである。

• 打上げ直後の地球周回フェーズ。パーキング軌道にいる間は地球周回物体であり、 外部からの追跡情報（軌道上物体カタログ）がTLEで得られることがある。 初期の粗い状況把握には使える
• 接近解析・干渉回避。他の地球周回物体との位置関係を見るとき。 ただし共分散がないので、衝突確率の厳密な評価には向かない

OMMを使えばTLEと同じ内容を標準形式で運べ、しかも 「どの理論で伝播すべきか」を明示できる。新規に設計するインタフェースでは、 生のTLEではなくOMMを使うべきである。

5.5.5 SPICE — 深宇宙の事実上の標準

惑星暦と探査機軌道の受け渡しでは、CCSDS形式よりSPICEカーネルのほうが 実務上よく使われる。天体位置・探査機軌道・姿勢・機器の視野・時刻変換・ 基準系定義が一つの体系にまとまっており、座標系と時系の取り違えが構造的に起きにくいのが強みである。

OEMとSPICEは相互に変換できる。使い分けの目安は次のとおり。

• OEM: 機関間の公式な受け渡し、契約的な意味を持つ配布、人が読める必要があるとき
• SPICE: 解析・可視化・機器チームとの共有、天体位置や姿勢と一緒に扱うとき

5.5.6 相互運用でよくある不整合

この表の使い方は「ずれ量から原因を逆算する」ことである。 残差の大きさが、うるう秒・RTLT・T_c/2・換算係数のどれかと一致すれば、 それが原因である可能性が高い。物理を疑う前に、まずここを潰す。

5.5.7 自機関フォーマットとの変換

多くの機関は独自の内部形式を持っている。標準形式との変換器を書くときの原則は3つ。

① 往復変換で不変であること。内部形式 → TDM → 内部形式 で ビット単位に戻るか（浮動小数点の丸めを除いて）を自動試験にする。 戻らないなら、どこかで情報が落ちている。

② メタデータを捨てないこと。内部形式に対応する欄がないメタデータを 黙って捨てるのが最も危険な実装である。対応がないなら、変換を失敗させるほうがよい。

③ 既知の軌道で残差を見ること。変換器を作ったら、 既に軌道が確定している期間のデータを通し、残差が変わらないことを確認する。 これが唯一の実質的な検証である。

第5.6章局間バイアスと較正の運用

5.6.1 バイアスの解剖 — 信号はどこで遅れるか

レンジ観測の基準点は局の基準点（アンテナの回転軸交点など測地的に定義された点 — 第2.6章の局位置はこの点の座標）である。 しかし信号は励振器→導波管→フィード→（空間）→フィード→LNA→受信機と、 構内を何百mも旅する。この構内の旅の所要時間（往復で µs級＝百m級！）が機器遅延であり、 较正で差し引いて初めて「基準点からの距離」になる。内訳：

5.6.2 ゼロ距離較正 — 自分の遅延を自分で測る

局の測距系の較正は、既知の短い経路で折り返して測るのが基本形である： テストトランスポンダ（構内の既知位置に置いた模擬探査機）へ向けて通常の測距を行い、 幾何距離（測量で既知）との差を機器遅延として記録する。 『地上局工学』第6.7章の折り返し試験構成の較正版であり、 同じ設備・同じ手順でパスの前後に毎回実施するのが深宇宙局の標準運用である。 パス前後の2点で挟むことで、パス中の遅延ドリフトまで一次近似で押さえられる。

公開情報：DSNの測距較正（station delay calibration）はこの方式で運用され、 較正値と履歴が追跡データ（TDM — 第5.5章のCORRECTION系メタデータ）と共に ミッションへ提供される（DSN公開文書 810-005系 — 付録C）。 「観測量には較正の出自がメタデータとして付いてくる」— 第5.5章で強調した思想の、供給側の実装である。

5.6.3 3-way運用と局間バイアス

送信局と受信局が異なる3-way（長いRTLTで局の可視が続かない外惑星ミッションの日常）では、 新しい系統誤差が現れる：両局の時計差・機器遅延差＝局間バイアスである。 2-wayなら同じ時計・同じ機器で閉じるため消えていた項が、局が分かれた瞬間に観測へ漏れ出す。 扱いは三段構え：

1. 時刻同期（GNSS時刻比較等 — 『地上局工学』第5.3章）と各局のゼロ距離較正でできる限り消す
2. 残りをパスごと・局対ごとのバイアスパラメータとして推定する（第4.1章の拡大状態。 2-wayパスが混ざっていれば分離は強い — 第4.8章）
3. 推定値のトレンドを監視し、系統的に動いたら較正・機器の異常として局へ差し戻す（第4.9章のパス単位検査と同じ回路）

5.6.4 較正値の管理 — 「いつの遅延か」が言えること

較正値は観測データと同格の構成管理対象である。実務の型：

• 履歴デーブル — 適用期間つきの較正値系列（機器構成の版と紐づけ）。 「この観測はどの較正で補正済みか」が常に追跡できる（第5.5章のCORRECTIONS_APPLIED）
• トレンド監視 — ゼロ距離較正値の時系列に管理限界を引き、 ジャンプ（機器交換の検出）とドリフト（劣化・季節）を区別する。 レンジ残差のパス単位段差（第4.9章の読影パターン）の答え合わせ台帳になる
• 再処理 — 較正の誤りが後日見つかったら、影響期間の観測を再補正して再ODする。 履歴管理はこの再処理を可能にするためにある（第2.6章のEOP再処理と同じ思想）

5.6.5 推定か較正か — 判断の整理

原則は「測れるものは測って消す。推定は最後の砦」である。 推定パラメータにしたバイアスは、状態と相関して（第4.8章）他の誤差を吸い込みうる — 較正インフラへの投資が推定の健全性を買う、という構図は第4.6章Q&Aの結論と同じである。

第5.7章自律航法 — 地上を頼らない軌道決定

5.7.1 なぜ自律か — 三つの壁

重要な整理：自律化とは推定ループ（第5.4章の心臓ループ）を機上で閉じることであり、 使う数学は地上と同一である。変わるのは計算資源の制約、検証の難しさ、 そして「失敗したとき人間が割り込めない」という運用哲学の方である。

5.7.2 機上光学航法 — 実績のある主力

第2.5章の光学観測＋第4.3〜4.4章のフィルタを機上に載せたものが機上OpNavである。 実績は着実に積まれている：彗星フライバイの自動追尾撮像、 はやぶさ2のタッチダウン（ターゲットマーカ画像＋LIDARの機上処理 — 第6.1章）、 小惑星衝突ミッションの終端誘導（衝突直前まで機上で目標を追い続ける）など、 「終端フェーズの高速閉ループ」はすでに機上光学の独壇場である。

設計の勘所は地上版との差分にある： ①計算資源 — 特徴抽出・フィルタを飛行計算機で回すための簡約（固定小数点化・処理レート設計）、 ②異常時の縮退 — 解が発散したときの安全側動作（中断・退避 — 第6.1章のGO/NOGO設計）、 ③地上によるリハーサル — 同じ画像を地上でも処理して機上解と突き合わせる検証運用。

5.7.3 パルサー航法 — 銀河のGPS、ただし桁に注意

ミリ秒パルサーは極めて安定な周期パルスを放つ天然の時計である。 複数のパルサーのパルス到着時刻（X線帯で観測）を機上時計と比べれば、 GPSと同じ原理で太陽系内の絶対位置が決まる — これがXNAV（X線パルサー航法）の原理である。

公開情報：ISSに搭載されたNASAのNICER/SEXTANT実験（2017〜）が軌道上実証を行い、 数〜十数km級の測位を実演した（公開発表）。 パルサーのタイミングカタログ整備（電波パルサー観測網の成果）が精度の土台である。

電波航法の本としての位置づけを冷静に書く： 精度は現状km級（電波ODのm級・ΔDORのnrad級に遠く及ばない）、 X線検出器と長い積分が要る。強みは地球インフラへの完全な非依存 — 外太陽系・地上局途絶時のバックアップ、深宇宙の「絶対時刻・絶対位置の独立基準」としての価値である。 主力の置き換えではなく、独立性という保険の技術として理解するのが正確である。

5.7.4 機上原子時計 — 2-wayを1-wayにする

2-way観測の存在理由は「機上時計が信用できない」ことだった（第3.5章）。 機上に高安定時計が載れば、上りだけ・下りだけの1-way測距が観測として成立し：

• 局は送りっぱなし／受けっぱなしでよく、1局が同時に多数機を支援できる（多数機時代の鍵）
• 下り1-wayなら探査機は受信を待たずに測位情報を得られる（GPS受信の深宇宙版の構図）

公開情報：NASAのDeep Space Atomic Clock（DSAC、2019〜2021飛行実証）は 水銀イオン時計で10⁻¹⁵級（日）の機上安定度を実証した（公開発表）。 地上メーザ級の時計が機上に載る道筋が示されたことで、 「1-way中心の深宇宙航法アーキテクチャ」は原理の話から設計の選択肢になりつつある。

5.7.5 役割分担 — 地上ODは消えない

検証の難しさが自律化の実質的な上限を決めることも付記しておく： 地上ODは解を人間が検査してから使う（第4.9章の規律）。 機上解は検査なしで行動に直結する — だから縮退設計（安全側動作）と 地上リハーサル（5.7.2）が本体と同じ重さを持つ。 「自律化の設計とは、推定器の設計ではなく、推定器が壊れたときの設計である」 — 第6.1章のはやぶさ2の運用設計が、この命題の最良の実例になる。

第5.8章STKによる軌道計算と可視解析

5.8.1 データモデル — 何が何を持っているか

STKはオブジェクトの階層でシナリオを表現する。最低限押さえるのは次の対応である。

ここで意識しておくべきは、「伝播（軌道を作る）」と「解析（作った軌道から量を計算する）」が 分離されているという設計である。伝播が間違っていれば解析結果はすべて間違うが、 解析側は何も警告しない。したがって検算は必ず伝播の段階で行う。

5.8.2 伝播器の選択 — 深宇宙で使えるものは限られる

ここが最大の分岐点である。伝播器の選択を誤ると、以降の作業がすべて無意味になる。

実務での使い分けは単純である。 これから作る軌道を設計するなら Astrogator、 すでに軌道決定で確定した軌道を使うなら SPICE か外部エフェメリス取り込み。 HPOPを深宇宙で直接使うのは、感度解析や検討段階に限られる。

5.8.3 中心天体と参照系 — 最大の事故源

STKの既定の中心天体は地球である。惑星間軌道をそのまま地球中心で扱おうとすると、 「地球の重力圏をはるかに超えた双曲線軌道」を延々と積分することになり、 結果は物理的に無意味になる。

正しくは、フェーズに応じて中心天体を切り替える。

Astrogatorでは Mission Control Sequence の中で中心天体を切り替えられる。 切り替え点は影響圏（第1.4.2）の内外で選ぶが、 切り替えの前後で状態ベクトルが連続していることを必ず確認する。 ここで座標変換を誤ると、数千km級の跳びが入る。

参照系も同様に注意がいる。ICRF・J2000・EME2000・各天体の慣性系・各天体の固定系。 OEMやSPICEから取り込むときは、ファイルに書かれた参照系とSTK側の設定が一致しているかを 毎回確認すること。この確認を省略した結果として起きる誤差は、 「なんとなく合わない」という形で現れるので気づきにくい。

5.8.4 力学モデルの設定 — 第1部との対応

HPOP / Astrogator の力学モデル設定画面は、本書第1部の目次とほぼ一対一に対応する。

5.8.5 Access — 可視解析と拘束条件

局と探査機の可視区間を求めるのがAccessである。深宇宙の運用計画では最も使う機能だが、 既定の設定では実運用の可視と一致しない。拘束条件を明示的に入れる必要がある。

Accessの出力（AERレポート: Azimuth / Elevation / Range）は、 局への指向予報の元データにもなる。ただしSTKのAERをそのまま局に渡してはいけない。 局が必要とするのは光行時間を考慮した指向（電波が出発した時刻の方向ではなく、 いま電波が来ている方向）であり、局固有の指向モデル（『地上局工学』第2.3章）も要る。 第5.4章で扱う予報生成は、STKの出力を出発点にして別途組む作業である。

5.8.6 Astrogator — マヌーバとターゲッティング

Astrogatorは Mission Control Sequence（MCS）という一連のセグメントで軌道を組み立てる。

実務で効くのは Target Sequence である。 「このΔVを調整して、目標天体到達時のB平面座標を指定値にする」といった 逆問題を、差分修正法（differential corrector）で解く。

ここで本書第5.3章（B平面）とつながる。TCMの設計とは、まさに 「B平面上の目標点に到達するΔVを求める」ことだからである。 Astrogatorの Target Sequence は次の3要素で構成される。

• 制御変数（Control）: 調整するもの。ΔVの大きさ・方向、点火時刻
• 拘束（Constraint）: 満たすべきもの。B·R、B·T、到達時刻、近点高度
• 収束条件: 許容誤差と最大反復回数

差分修正法は数値微分でヤコビアンを作って反復する。 収束しないときの原因はほぼ決まっているので、順に潰す。

5.8.7 外部軌道の取り込みと書き出し

運用中は、軌道決定の結果（OEM / SPICE）をSTKに読み込んで解析するのが基本形になる。 STKで伝播した軌道を運用に使うことは、通常はしない。正解は軌道決定側にあるからである。

取り込み時の注意は第5.5.3で述べたとおりで、参照系・時系・中心天体・補間次数の4点。 とくに補間次数を指定どおりに設定すること。STKは既定の補間次数を持っているので、 OEMの指定と食い違ったまま読み込まれることがある。

書き出しでは、渡す相手が何を期待しているかを確認する。 「STKからエクスポートしました」だけでは受け取る側が困る。 参照系・時系・中心天体・エポック間隔・補間次数を添えて渡すのが最低限である。

5.8.8 自動化 — GUIから抜け出す

可視解析を1回やるだけならGUIでよい。しかし 「追跡計画案を10通り作って比較する」「毎日の予報を自動生成する」 「較正天体を全期間分探索する」といった作業は、必ず自動化する。

STKは外部からの制御インタフェース（Connect コマンド、オブジェクトモデル、 Pythonバインディング）を持つ。設計の指針は次の2つ。

① シナリオをコードで組み立てる。GUIで作ったシナリオをコードで叩くのではなく、 シナリオそのものをコードから作る。そうすれば設定が全部テキストとして残り、 差分が取れ、レビューでき、再現できる。

② 出力は必ずファイルへ落とす。画面で見て判断するのではなく、 レポートをCSV等で吐かせて、比較・可視化は別の道具でやる。 STKを「計算機」として使い、「判断の場」にはしない。

5.8.9 STKを信用してよい範囲 — 検算の作法

本章で最も伝えたいのはここである。「STKがそう言った」は根拠にならない。 設定が間違っていれば、もっともらしい間違った答えが出る。しかも警告は出ない。

最低限やるべき検算を4つ挙げる。

① 二体問題との比較。摂動をすべて切って TwoBody で伝播し、 閉形式の解（第1.1章）と一致するか確認する。これで時系・単位・参照系の基本的な設定が検証できる。

② 保存量の確認。摂動なしなら軌道エネルギーと角運動量は保存する。 1周期積分して保存量がどれだけ変化するかを見れば、積分器の許容誤差設定が適切かが分かる。 相対変化が10⁻¹⁰を超えるようなら設定が緩い。

③ 独立実装との突き合わせ。可視解析（仰角）、光行時間、 ドップラの一次項あたりは、自分で数十行書けば計算できる。 第2部の式をそのまま実装して比較する。これが最も効く検算である。

④ 既知の事実との照合。近点通過時刻、食の時刻、既知のマヌーバ時刻が 想定どおりの時刻に現れるか。物理的に意味のあるイベントで確かめる。

第6.1章事例研究 — はやぶさ2の小天体近傍航法

図6.1-1　はやぶさ2（想像図）。 画像：©JAXA（出典：はやぶさ2プロジェクト公式サイト）。 平板の太陽電池と高利得アンテナという形状は、SRP箱翼モデル（第1.5章）の 「箱＋翼」抽象化がそのまま当てはまる機体でもある。

6.1.1 ミッションの航法的な骨格（公開情報より）

出典：JAXA/ISASの公開資料（プロジェクトサイト・プレスリリース・ISASニュース）および 査読論文（Earth, Planets and Space誌のはやぶさ2特集など、オープンアクセス多数 — 付録C）。 以下の事実関係はすべて公開情報の範囲であり、詳細な数値・内部判断は原典を参照のこと。

• 2014年打上げ、地球スイングバイ（2015）を経て2018年リュウグウ到着、 2019年に2回のタッチダウンと衝突装置(SCI)実験、2020年カプセル帰還
• 巡航はイオンエンジン（低推力 — 第5.2章のモデル化対象）＋地上OD（RARR・ΔDOR）
• 近傍運用はホームポジション（高度約20 km・地球-小惑星線上）からの ホバリング型（第1.6章の左側の解）

6.1.2 到着 — 段階的接近という航法設計

小天体接近の中心問題は第1.6章Q&Aのとおり「μを測るまで近づけない・近づかないと測れない」。 公開情報から読み取れるはやぶさ2の解がまさに段階的接近である： 光学（星野に対する小惑星の方向 — 第2.5章）で相対軌道を絞りながら接近し、 到着後にホームポジション付近からの運用でμ・形状・自転を観測で確定 （形状モデルは画像から、μは降下運用時の軌道の曲がりから — 第1.6章）。 モデルは飛びながら育てる、の実戦である。

6.1.3 近傍の日常 — 地上と機上の分業

ホームポジション維持は「不安定平衡を制御で保つ」（第1.6章）。 公開資料が描く分業は本書の枠組みでこう整理できる：

「普段は地上・終端は機上」という第5.7章の分担線が、 高度20 km（地上）→数百m〜表面（機上）という高度の階段として実装されている。

図6.1-2　降りる直前に、探査機が見ていたもの。 第2回タッチダウン運用（PPTD, 2019年7月9〜11日実施）で取得された光学航法カメラ（ONC）の航法用画像。 地上受信時刻 UTC 2019-07-11 00:28。画像: ©JAXA, 東京大学ほか（はやぶさ2プロジェクト公式ギャラリー）。
視野いっぱいを岩塊が覆っている — 本節でいう「平坦地が半径数mしかない」とは、 この光景の中に着地点を探すという意味である。 自然地形どうしがよく似て見えることが、画像航法の対応づけに多峰性（第4.4章）をもたらす理由も、 この一枚から直感できる。

6.1.4 タッチダウン — ターゲットマーカと自律の限界設計

リュウグウは想定より岩だらけで、安全な着陸候補が半径数mしかない — 公開経緯のとおり、第1回タッチダウンは当初計画から延期して精密化された。 航法的な鍵はターゲットマーカ（TM）：事前に投下する再帰反射の人工ランドマーク（第2.5章）である。 TMを画像で捕捉・追尾することで、地形の不確かさ（自然ランドマークの対応づけ誤差 — 第4.4章の多峰性）を 「自分で置いた既知点への相対航法」に置き換える。 降下は高度で区切ったGO/NOGO判断（地上判断→ある高度から完全自律）で設計され、 「推定器が壊れたときの設計」（第5.7章） — 異常時は即座に上昇退避 — が全段に組み込まれた。 第2回タッチダウン（SCI人工クレーター近傍）は、第1回で実証された精度を土台に、 より狭い許容域へ降りている。

6.1.5 本書の道具がどこで効いたか — 索引として

第6.2章事例研究 — MMXの火星圏と準衛星軌道

6.2.1 問題設定 — フォボスという相手（公開情報より）

出典：JAXA MMX公式サイト、公開のシステム記述書（MMX-SysDD 2017年3月版 — MEGANE国際公募に際して公開）、ISAS特集連載「MMXはフォボスを目指す！」（軌道計画・軌道決定の回を含む）。 以下は公開情報の範囲の再構成である。

• フォボスは半径約11 kmの小衛星で、火星を約7.6時間で一周する。 フォボス自身の重力は微弱で、その影響圏は表面すれすれ — 「フォボスを周回する」ことは事実上できない（第1.6章の球面調和どころか、二体近似自体が成立しない）
• そこで探査機は火星を回りながらフォボスに並走する： フォボス軌道の少し内外を行き来する軌道は、フォボス共回転系で見ると フォボスの周りを回る閉軌道に見える — これがQSO（準衛星軌道）である
• 公開設計では高度の異なる複数のQSO（高・中・低）を段階的に使い分け、 観測→着陸候補選定→降下と進める計画が示されている（段階的接近 — 第1.6章 — のQSO版）

図6.2-1　相手の実像。 Mars Reconnaissance Orbiter 搭載 HiRISE が2008年3月23日に距離約6,800 kmから撮影したフォボス（カラー合成）。 画像: NASA/JPL-Caltech/University of Arizona（PIA10368）。 三軸径はおよそ 27×22×18 km。左上の大穴が直径約9 kmのスティックニー・クレータで、輪郭はどの向きから見ても円から外れている。 球で近似できないこの形が、前項で述べた重力場の非球対称性と 次項の QSO 設計の出発点になっている。

6.2.2 QSOの航法 — 何が新しいか

最後の行がMMX航法の妙味である：フォボスの暦（位置予報）自体に不確かさがあり、 QSO維持にはフォボス相対の状態が要る。 探査機の観測（光学でフォボスを見る）はフォボス暦をも改良する — 「探査対象の暦を推定状態に含める」（第4.1章の拡大状態の拡張）ことで、 暦誤差の壁（第1.4章：絶対は暦なり）を天体相対の観測で内側から破る構図になる。

6.2.3 火星圏に入るまで — 公開設計の航法イベント

公開のシステム記述書は、往路を直接遷移（スイングバイなし・約11か月）とし、 TCM・RARR・DDOR（ΔDOR）による誘導、MOI（火星軌道投入）を3段の噴射 （捕獲楕円→傾斜角と近火点調整→フォボス軌道高度へ円化）として記述する。 本書の道具で読めば：巡航は第5.1〜5.4章の標準ループ、 MOIは大ΔVの跨ぎ推定（第5.2章）、各段の照準はB平面から火星周回の軌道要素照準への 連鎖（第5.3章Q&A）である。 投入後の位相合わせ（フォボスとの会合）を経てQSOへ入る。

6.2.4 通信・追跡の環境 — 混み合う火星圏

火星圏は同一ビーム内複数機の代表例（『周波数管理と国際調整』第4.2章）であり、 MMXの追跡はその調整環境の中で行われる。 地上側は臼田・美笹（『地上局工学』第8.1章）を軸に、 クロスサポート（『地上局工学』第7.5章）を組み合わせる構図が公開情報から読める。 ΔDOR（第2.4章）は火星圏ミッションの標準装備であり、 MOI前の決め所投入（第5.1章）というパターンはMMXでも変わらない。

第6.3章事例研究 — みおの惑星間巡航と水星到達

6.3.1 ミッションの骨格（公開情報より）

出典：JAXA/ISASのみお公式情報、ESAのBepiColombo公開資料。 2018年打上げ。ESAの水星表面探査機（MPO）・電気推進モジュール（MTM）と結合した複合体で巡航し、 地球1回・金星2回・水星6回のスイングバイを経て2026年末〜2027年の水星周回軌道投入へ向かう （到着時期は運用経過により更新されてきた — 確認日時点の公式発表を参照のこと）。 水星到達がこれほど難しいのは「落ちすぎる」から — 太陽へ向かう軌道はエネルギーを捨てる必要があり、 化学推進だけでは推薬が成立しない。答えが電気推進＋多重スイングバイである。

6.3.2 スイングバイ連鎖の航法 — B平面のリレー

9回のスイングバイは、B平面照準（第5.3章）を9回連鎖させることを意味する。 各スイングバイの通過点誤差は次のレグの初期誤差として増幅されて伝わるから：

• 各スイングバイ前に「集中追跡＋ΔDOR＋最終TCM」の定型パッケージ（第5.1章・第5.3章）が置かれる
• スイングバイ直後のODは「どこを通ったか」の再構築（第5.2章の差分法と同型）から始まり、 次レグの照準を更新する
• 金星・水星スイングバイは太陽に近く、SEP角の悪い幾何・濃いプラズマ（第3.3章）と 重なりやすい — 追跡計画は幾何との綱引きになる

「B平面のリレー」は外惑星ミッション（木星以遠）でも同じ構図であり、 多重スイングバイ航法の型として一般性がある。

6.3.3 電気推進巡航のOD

MTMのイオンエンジンは長期間の連続噴射で徐々に軌道を変える。 ODから見ると「常時働く未知精度の加速度」であり（第5.2章）： 推力モデル（スロットル・指向履歴のテレメトリ）を力学に入れ、 スケール係数を推定し、残差を経験的加速度（第4.7章）で吸う — という 低推力ODの標準形が長期間適用される。 噴射中はドップラに推力が直接見えるため、 ODが推進系の性能監視を兼ねる（第5.2章Q&A「最良の飛行較正」）のも低推力巡航の特徴である。

6.3.4 内太陽系という環境

最後の2行が示すとおり、水星圏のODはそのまま基礎科学である： 周回フェーズの精密追跡は水星の重力場・自転・暦を作り直し、 相対論パラメータの検証（先代のMESSENGER探査機の追跡データでも行われた — 公開文献）に寄与する。 第6.5章（電波科学）への橋がここに架かる。

6.3.5 到着後 — みおの分離と磁気圏軌道

水星到達後、複合体は分離し、みおは楕円の磁気圏観測軌道に入る（公開計画）。 スピン安定の磁気圏探査機のODは、周回科学衛星の標準（第5部のループ）に戻る — 長い巡航の特殊性と、到着後の定常性の対比も、この事例の教材的価値である。

第6.4章太陽合をまたぐ運用

6.4.1 第一幕：合の前 — 置き土産の設計

1. 軌道解の確定 — 合直前に集中追跡（＋必要ならΔDOR）で最良の解を作る（第5.1章）。 この解が休止期間全体の予報（第5.4章）の親になる — 「合前最後の解」の品質が、合明けの再捕捉の難易度を直接決める
2. マヌーバの排除 — 休止期間とその直後にTCMを置かない軌道計画（第5.2章・第5.3章）。 置かざるを得ないなら合前に前倒しする
3. 機上の自律化設定 — コマンド無しで安全に過ごす期間の設定（セーフィング閾値の緩和・ 蓄積データの保持計画）。周波数・運用制約の遵守は自動でも守られる設計に （『周波数管理と国際調整』第5.8章のセーフモード設計と同じ思想）
4. 合験（リハーサル） — 通信可能なうちに、休止手順・復帰手順を一度通す

6.4.2 第二幕：合の間 — 完全沈黙ではない

SEP角のしきい値（第3.3章の表）は「精密OD不可」と「通信不可」の二段である。 その間の帯域では：

• ビーコン監視 — 復調はできなくても搬送波の検出だけで「生きている・大異常なし」が分かる。 低い運用コストで安心を買う定番（『宇宙通信』の低レート限界の実用形）
• データは取り続ける — 航法に使えない品質でも記録する。 合のドップラは電波科学の一級データであり（第3.3章5節・第6.5章）、 後日の較正検証（プラズマモデルの答え合わせ — 第3.6章）にも使える
• コマンドは原則送らない。送るなら復唱・多重化の保守的手順で（誤受信リスク — 第3.3章）

6.4.3 第三幕：合明け — 再捕捉の力学

休止中、軌道は力学モデルだけで外挿され、共分散は成長している（第5.4章）。 合明け初日の運用は：

1. 広めの掃引・長めの待ち受けで捕捉（掃引幅は成長した共分散から生成 — 第5.4章3節）
2. 最初の数パスはOD専念（RARR集中） — 解を合前品質に戻すのが最優先
3. 機上蓄積データの回収はその後 — 回線の優先順位は「軌道→健康→科学」
4. 合中に取ったデータの事後処理（プラズマ較正つき再OD）で休止期間の軌道を埋め戻す（第4.5章の平滑化）

第6.5章軌道決定から電波科学へ

6.5.1 反転の一覧表 — 誤差源はどこで科学になったか

6.5.2 電波掩蔽 — リンクの切れ際が最も雄弁

探査機が天体の縁に隠れる（掩蔽）とき、電波は大気・電離層を斜めに貫く。 その間の周波数・振幅の時系列（オープンループ記録 — 『地上局工学』第6.2章）から、 屈折率プロファイル→気温・気圧・電子密度の高度分布がアーベル変換で復元できる。 惑星大気の「電波CTスキャン」であり、火星・金星・外惑星・タイタンの大気構造の多くは この手法で得られた（公開成果多数）。 使う較正・時刻・周波数の道具は本書第2〜3部そのもの — 掩蔽科学の限界は、そのままドップラ較正の限界（第3.6章）である。

6.5.3 重力科学の実務 — 第4部の拡大適用

重力場推定（第1.3章4節）の実務は、バッチ推定（第4.2章）の状態を 数百〜数千のStokes係数まで拡大したものである。 巨大な正規方程式・アーク結合・正則化（事前情報 — 第4.2章のベイズ）・ 係数の共分散評価（第4.6章） — 本書の道具の高次元版がそのまま使われる。 科学の質を決めるのはやはり非重力のモデル化（第1.5章）と較正（第3部）であり、 「航法が上手いチームは重力科学も上手い」という経験則には構造的な理由がある。

6.5.4 これからの電波科学と、本書の外へ

• Ka帯・多周波リンク（第3.2〜3.3章）の普及は、プラズマ較正の壁を下げ、 重力・相対論測定の精度を一段引き上げつつある
• 光通信時代（『周波数管理と国際調整』第6.3章）でも測位・時刻の基盤はRFが残る — 電波科学の観測インフラは当面失われない。光の精密測距・時刻比較はむしろ新しい科学窓になる
• 機上時計の高安定化（第5.7章のDSAC級）は1-way電波科学 — 深宇宙に置いた時計そのものによる重力ポテンシャル測定 — の可能性を開く

本書は「電波で位置を測る」技術の本として書かれた。 しかし振り返れば、測っていたのは位置だけではない — 媒質を、天体の中身を、時空そのものを、同じ電波が測っていた。 残差を読む技能（第4.9章）は、自然を読む技能と地続きである。 軌道決定者の仕事机から見える宇宙は、思いのほか広い — それがこの本の結語である。

付録A総合演習 — 章をまたいで軌道を決める

A.1 設定

A.2 課題1 — 力学と伝播（第1部）

1. 運動方程式（第三体は直接項−間接項！ 第1.4章）を実装し、RK系可変刻みで30日伝播せよ
2. 検算三点セット（第1.2章）：許容誤差1桁変更・往復積分・エネルギー監視を実施し、結果を記録せよ
3. 変分方程式でΦを積分し、数値微分と相対誤差10⁻³で一致することを確認せよ（第1.2章・第2.7章）

A.3 課題2 — 観測のシミュレーション（第2〜3部）

1. 光行時間方程式を反復で解き（第2.2章）、レンジ・ドップラ（差分レンジ形式 — 第2.3章）の 観測値を「真の軌道」から生成せよ。局位置には自転（簡略でよい：UT1誤差なし）を入れること
2. 雑音・レンジバイアス・一次ガウスマルコフの対流圏残差（τ=2時間、σ=5 cm）を加えよ（第3.6章）
3. 真値との差をプロットし、意図した統計になっていることを確認せよ — シミュレータの検証なしに推定器の検証はできない

A.4 課題3 — 推定（第4部）

1. 初期推定を真値から{位置100 km、速度1 m/s}ずらし、バッチ推定（第4.2章）で {状態6、C_r、レンジバイアス}を解け。反復収束の様子（‖δX̂‖の推移）を記録せよ
2. 収束後の残差の白色性を検査せよ（第4.9章）。対流圏残差が相関して残ることを確認し、 ①レンジ・ドップラの重み調整、②天頂遅延推定（第3.1章）のどちらかで改善を試みよ
3. 相関行列（第4.8章）を出力し、|ρ|>0.9の組を解釈せよ （ヒント：1局RARRではバイアスと視線距離、C_rと速度成分に強い相関が出るはず）

A.5 課題4 — 共分散解析と運用判断（第4.6章・第5部）

1. 観測を取らずに共分散だけ30日回し（第4.6章）、 「ΔDORを週1回足す」効果を横方向の誤差で比較せよ（ΔDOR：σ=2 nrad、直交2成分）
2. C_rをconsider（σ=0.1固定）にした場合と推定した場合のP_cを比較せよ
3. 解のエポックから14日先へ予測し、誤差楕円の伸び（沿道方向 — 第1.1章）を図示せよ。 この予報の「賞味期限」（位置誤差100 km到達日）を宣言せよ（第5.4章）
4. 10日目に1 m/sのTCM（実行誤差2% — 第5.2章）を挿入した場合の、 跨ぎ推定と分割推定の解を比較せよ

A.6 自己採点の観点

この演習を一周した読者は、規模こそ小さいが本物と同じ構造の軌道決定システムを持っている。 現実との残りの距離は、モデルの項数と較正の深さ（第3部）と運用の規律（第4.9章・第5部） — 方向はすべて本書に書いた。あとは実データが先生である。

付録B用語集

本書で使う用語の実務的な要約。日英併記。姉妹書の用語集（『宇宙通信』『地上局工学』 『周波数管理と国際調整』付録B）と分担し、本表は力学・観測・推定・運用の用語を受け持つ。

B.1 力学・座標・時刻

B.2 観測量

B.3 推定

B.4 運用

付録C参考文献 — 深く知るための地図

本書は実装と判断に重心を置いた。導出の厳密さ・網羅性はここに挙げる文献が担う。 ほぼすべて公開・無償で入手できる — 深宇宙航法は例外的にオープンな分野である。

C.1 決定版の教科書・定式化文書

C.2 公開データ・ツール・規約（実装に直結）

C.3 事例研究の一次資料（第6部）

C.4 読み進め方の提案

1. 実装しながら読む人：付録A → Moyer（式の答え合わせ）→ Tapley/Schutz/Born（第4部の厳密化）
2. 運用に入る人：DESCANSO Radiometric Tracking巻 → DSN 810-005 → CCSDS Navigation系
3. 科学へ進む人：第6.5章の各成果の原論文 → 対象分野（重力科学・掩蔽・相対論）のレビュー