電波航法と軌道決定

第2.2章レンジ観測方程式

2.2.1 光行時間方程式 — 「距離」とは何と何の距離か

2-way測距では3つの時刻が登場する。地上局が測距信号を送信した時刻 t_1、探査機が折り返した時刻 t_2、 地上局が受信した時刻 t_3 である。火星距離では t_3 − t_1 が20〜40分に達するから、 その間に地球は数百度ぶん自転し、局は数百km動く。t_1 の局位置と t_3 の局位置は別の点である。 したがって「距離 ρ」という言い方は、それだけでは定義になっていない。

正しくは、次の2本の陰関数方程式（光行時間方程式）で定義される。

ここで r_st は局位置、r_sc は探査機位置、Δ は媒質・相対論による経路延長である （第3部で扱う）。観測される量は t_3 − t_1 と、機上の折返し遅延 τ_tr であり、 観測量としての測距値は次で定義される。

この ρ_obs は幾何学的な距離そのものではなく、2本の経路長の平均である。 推定の側でこれと同じものを計算しなければ、系統誤差になる。

2.2.2 光行時間方程式を解く

上の2式は t_2 について陰であり、反復で解く。順序が重要で、下りを先に解く。 観測されるのは t_3（受信時刻）だからである。

これで t_2 = t_3 − τ_down が定まる。次に上りを同じ形で後ろ向きに解いて t_1 を得る。 収束は速い。反復1回ごとに誤差は概ね (v_rel/c) 倍に縮むので、探査機の視線速度が30 km/sでも 1回で10⁻⁴、2回で10⁻⁸、3回でほぼ丸め誤差に達する。 実装では3回固定か、変化量が1 psを下回るまで、とすればよい。

2.2.3 観測方程式の完全形 — 補正項をすべて並べる

推定に使う観測方程式は、幾何項に補正項をすべて足した形である。 「どれを入れ、どれを落としたか」を明示的に管理することが、系統誤差を制御する唯一の方法である。

桁を見てほしい。幾何以外の項の合計は、測距の測定精度（10 cm級）より2〜3桁大きい。 測距が「精密な観測量」であるのは、これらを較正しきったあとの話である。 精度の議論を測定器の性能だけでするのは、この表を見ていないということになる。

2.2.4 測距信号の構成 — CCSDS PN測距

測距信号に求められるのは相反する二つで、精密さ（位相を細かく読める＝高い周波数成分が要る）と 一意性（どのサイクルかが決まる＝長い周期が要る）である。 現行標準の CCSDS PN測距（CCSDS 414.1-B）は、周期の異なる6本の短い二値符号を 重み付き多数決で1本に合成することで、この二つを同時に満たす。

成分符号の周期は 2, 7, 11, 15, 19, 23 チップ。互いに素だから、合成符号の周期は積になる。

周期2チップの成分 C_1 はチップレートの半分の方形波であり、これがレンジングクロックとして精度を担う。 残る C_2〜C_6 があいまい解決を担う。これは中国剰余定理を電波でやっているのと同じことで、 各成分符号との相関から得た位相（＝各周期での剰余）が揃う点が、周期 L の中で一意に決まる。

電力配分には2種類の標準符号がある。T4B はクロック成分 C_1 に電力の約88%を集中させ、 測距精度を優先する。T2B は C_1 を約39%に抑えて成分符号に配り、捕捉時間を優先する。 巡航中の弱いリンクでは T4B、素早い再捕捉が要る場面では T2B、というのが選択の基準になる。

2.2.5 精度の理論限界と、要求 P_R/N_0

ここが本章の中心である。測距精度は測定器の巧拙ではなく、推定理論の下限で決まる。

受信した測距信号と局内の参照波形の相関を時間 T だけ積分する。信号成分は毎瞬同じ向きに積み上がるので 振幅は T に比例して育ち、雑音は向きがランダムだから √T でしか育たない。 積分後のSNRは (P_R/N_0)·T まで改善する。位相誤差は「信号ベクトルに直交する向きの雑音」を 「信号の長さ」で割ったものであり、雑音のうち直交成分に効くのは半分だから

となる。これはクラメール・ラオ下限に一致しており（第4.9章で一般論として扱う）、 これ以上うまい測り方は原理的に存在しない。位相を距離に直すと、 2-way（往復で位相が2倍積算される）だから

実務でよく要るのは逆向きの式である。目標測距精度 σ_ρ を達成するのに必要な P_R/N_0 は

この式は設計会議でそのまま使える。測距要求が「10 cm」と言われたら、 リンクバジェット側に 26.8 dBHz を要求として渡し、 それが成立しないなら「積分時間を延ばす」「クロックを上げる」「要求を緩める」の三択になる。 積分時間を延ばす選択は、探査機の加速度によって位相が曲がる（コヒーレンス時間の限界）ので無限には伸びない。

2.2.6 変調指数と電力配分 — 測距に何割渡すか

P_R は総受信電力 P_T のうち測距に配分された分である。配分は位相変調指数で決まり、 ここが通信系設計者と航法担当が正面からぶつかる場所になる。

測距変調が方形波（PN測距はこちら）で変調指数 θ_R のとき、残留搬送波と測距の電力比は

正弦波測距（トーン測距）ではベッセル関数になる。

テレメトリ副搬送波も同時に載せる場合は、それぞれの因子の積になる （各変調が独立に電力を取り分ける）。

ここに三すくみが生じる。残留搬送波は受信機PLLがロックを保つのに要り、 テレメトリはデータを運ぶのに要り、測距は航法に要る。総電力は一定である。 測距変調指数を上げると、必ず搬送波かテレメトリのどちらかが痩せる。

実務では、測距を打つパスと打たないパスを分けるのが普通である。 測距中はテレメトリレートを一段落とす、という運用がよく取られる。 この判断はリンクバジェットの問題ではなく、航法要求との調停である。

2.2.7 透過測距と再生測距 — 上りの雑音をどう扱うか

探査機が測距信号をどう折り返すかで、達成できる精度が大きく変わる。

透過測距（transparent / turn-around ranging）は、受信した測距変調をそのまま位相を保って 下りに載せ直す。実装は単純だが、上りで乗った雑音も一緒に増幅して送り返す。 機上受信の測距 SNR を (P_R/N_0)_up、下りのそれを (P_R/N_0)_down とすると、 地上での実効的な測距 SNR は概ね

という直列合成になる。上りが弱ければ、下りをいくら強くしても実効SNRは上がらない。 深宇宙では上りの電力は地上局の送信電力（数十kW）で稼げるが、 機上受信アンテナは小さく、機上の系雑音温度は数百K〜千K級なので、 上りが律速することは珍しくない。

再生測距（regenerative ranging）は、機上で測距符号を復元してから作り直して送り返す。 符号が既知の二値系列であることを使うので、上りの雑音は復元の段階で断ち切られる。 その結果、地上での測距 SNR は下りだけで決まる。

上りが律速している状況では、これは数dBから状況によっては10 dB以上の改善になる。 代償は機上の複雑さ（符号追尾ループを載せる）と、 再生の追尾ループがロックを失うと測距そのものが止まるという運用上の脆さである。 CCSDS 414.1-B は再生測距を前提とした符号系を規定している。

2.2.8 あいまい解決と捕捉時間

測距を「打つ」と決めてから距離が出るまでには時間がかかる。 各成分符号の位相を推定するのに必要な時間が積み上がるからである。 成分 n に配分された電力比を ξ_n² とすると、その成分の相関SNRは ξ_n²·(P_R/N_0)·T_n で育つ。 必要な検出確率を満たす T_n を各成分について求め、合計したものが捕捉時間になる。

設計上の含意は単純で、T4B（クロックに集中）は精度が良いが捕捉が遅く、T2B は逆である。 巡航中のように「1パスで1点取れればよい」場面では T4B、 軌道投入直後のように「早く距離が欲しい」場面では T2B、という使い分けになる。

なお、深宇宙では予報軌道の不確かさがあいまい範囲（例2.2-1で7.6万km）よりずっと小さいため、 あいまい解決は「保険」であって主役ではない。 あいまい解決が本当に効くのは、長期間追跡が途切れたあとの再捕捉や、 予期しないマヌーバがあった直後である。

2.2.9 較正 — ゼロ点、機上遅延、局遅延

2.2.3の表で見たとおり、測距バイアスは測距精度より2桁大きい。 したがって較正の質が測距の質である。

局側（ゼロ点較正）。局内で送信信号を受信系に折り返し、 「距離ゼロ」に対応する測距値を実測する。これを実観測から差し引く。 折返し点をどこに取るかで何が較正できるかが変わり、 アンテナ給電部で折り返せばほぼ全経路が入るが、実施は容易でない。 詳しくは姉妹書『地上局工学』第6.7章で扱う。

機上側（折返し遅延 τ_tr）。トランスポンダの群遅延を地上試験で実測する。 重要なのは温度依存で、機上機器の温度は太陽距離と姿勢で数十K変わる。 群遅延の温度係数が 1 ns/K なら、50 Kの変動で 50 ns ＝ 7.5 m の測距バイアス変動になる。 これは無視できない。温度テレメトリと対応づけたモデルを作り、観測方程式に入れるのが正しい。

2.2.10 残差に現れる系統誤差の顔

推定を回したあと、レンジ残差の形から原因を推測できるようになると、現場での切り分けが速くなる。

最後の行は覚えておく価値がある。残差の飛びが c/(4 f_RC) の整数倍なら、それはあいまいさの取り違えである。 f_RC = 1 MHz なら 75 m の整数倍。物理でなくロジックの誤りなので、力学モデルをいじっても直らない。

2.2.11 偏微分 — 第4部へ渡す

推定に使うには、観測量のエポック状態に対する偏微分が要る。 レンジの場合、幾何項の探査機位置に対する偏微分は視線方向の単位ベクトルそのものである。

û は局から探査機へ向かう単位ベクトル。上りと下りで û はわずかに違う（地球自転のぶん）が、 偏微分の精度としては平均で足りることが多い。エポック状態への引き戻しは状態遷移行列を噛ませて

とする。詳細は第2.7章。ここで重要なのは、レンジがû方向、つまり視線方向しか拘束しないという事実である。 視線に直交する2方向（横方向）については、レンジ観測はほとんど情報を持たない。 これがΔDOR（第2.4章）と光学航法（第2.5章）が必要になる理由であり、 同時にドップラが地球自転を使って横方向情報を絞り出す（第2.3章）理由でもある。

第2.3章ドップラ観測方程式

2.3.1 ドップラ観測量の正体 — 位相カウントであること

地上局のドップラ抽出器が出力するのは瞬時周波数ではない。 基準周波数と受信周波数の差を、指定した計数区間 T_c にわたって積分したサイクル数である。

ここで G はターンアラウンド比（2.3.2）。この積分に物理的な意味を与えると、見え方が一変する。 受信周波数は2-way経路長 S(t) = ρ_up + ρ_down の時間変化で決まるから f_rx = G f_tx (1 − Ṡ/c)、したがって

ドップラ観測量は、計数区間の両端における2-way経路長の差そのものである。 レンジがある瞬間の経路長を測るのに対し、ドップラは経路長の変化量を測る。 だから単位はサイクルであっても、実体は長さである。しかも搬送波の波長（X帯で3.6 cm）を 目盛りに使うので、測距クロック（1 MHzで300 m）よりはるかに細かい目盛りで測れる。 これがドップラが主力である理由である。

2.3.2 ターンアラウンド比とコヒーレント2-way

探査機のトランスポンダは、受信した上り搬送波の位相に厳密に同期して下り搬送波を生成する。 比は有理数に固定されており、これをターンアラウンド比という。

比が有理数であることが本質的である。位相を保ったまま整数比で逓倍・分周できるので、 下り搬送波の位相は上り搬送波の位相の忠実な写しになる。 その結果、地上局の水素メーザ1台の安定度が、往復経路全体の位相基準になる。 これが「コヒーレント2-way」であり、深宇宙の精密ドップラを成り立たせている仕組みである。

2周波を同時に使う配置（X帯上り／X帯下り＋Ka帯下り）が採られることがあるのは、 分散性媒質（電離層・太陽プラズマ）の較正のためである。第3.2章・第3.3章で扱う。

2.3.3 精度の理論限界と、要求 P_C/N_0

ドップラ精度も推定理論の下限で決まる。搬送波位相の測定精度は、測距と同じ形で

である（P_C/N_0 は残留搬送波の電力対雑音密度比。測距の P_R/N_0 とは別物）。 観測量は両端の位相差だから雑音は √2 倍になり、経路長差に直すと

平均距離変化率は ΔS/(2T_c) なので、最終的に

という、実務でそのまま使える形になる。T_c の 3/2 乗で効くことに注意してほしい。 積分時間を4倍にすれば精度は8倍になる。測距（√T でしか効かない）よりずっと効率がよい。

逆に解いて、目標精度 σ_ρ̇ に必要な残留搬送波の要求は

2.3.4 発振器安定度による床 — 実際にはここで止まる

例2.3-1の値は、実際には達成できない。周波数基準そのものの揺らぎが先に効くからである。

2-wayでは Δf/f = −2ρ̇/c だから、基準周波数に相対的な揺らぎ σ_y があると、 それはそのまま距離変化率の誤差に化ける。

ここで肝心なのはどの τ でのアラン偏差を使うかである。 素朴には計数区間 T_c と思いたくなるが、正しくない。 上り送信時刻 t_1 の基準位相と、下り受信時刻 t_3 の基準位相を比べているのだから、 基準が揺らいでよい時間スケールは往復光時間 RTLT である。 火星なら20〜40分、外惑星なら数時間になる。

この結論は運用判断を変える。「ドップラ精度が足りない」という要求に対して、 送信電力を上げても大型局に替えても改善しない領域があるということである。 効くのは、より良い周波数標準、より長い計数区間、そして 媒質較正（第3部）と力学モデル（第1部）の改善のほうである。

なお非コヒーレント（1-way）ドップラでは、機上のUSOの安定度が直接効く。 USOの σ_y は10⁻¹²〜10⁻¹³ 級なので、2-wayより2〜3桁悪い。 機上原子時計（DSAC級、10⁻¹⁵）が意味を持つのはここである（第5.7章）。

2.3.5 計数区間の設計 — 短くすると何が起きるか

T_c は自由に選べる設計変数だが、両側から縛られる。

長くする方向の利益: 精度が T_c^{3/2} で改善する。データ量が減る。

長くする方向の損失: 区間内の加速度が平均されて潰れる。 マヌーバや短時間の異常加速度が見えなくなる。 区間内で ρ̈ が一定なら平均値は区間中央の瞬時値に等しいが、ρ⃛ が効くと偏る。

実務では複数の計数区間を並行して出す（10 s / 60 s / 600 s）のが普通で、 軌道決定側がフェーズに応じて選ぶ。短い区間から長い区間は後から合成できるが、逆はできない。 迷ったら短く取っておくのが安全である。

2.3.6 地球自転の署名 — ドップラだけで角度が決まる理由

ドップラは視線方向の情報しか持たないはずである。ではなぜドップラ単独で軌道が決まるのか。 答えは地球の自転にある。

探査機が十分遠方にあり、視線方向の単位ベクトル û（赤経 α、赤緯 δ）が 1パスのあいだほぼ一定とみなせるとする。局位置の地心からのずれを û に射影すると

ここで r_s は局の自転軸からの距離、z_s は赤道面からの高さ、λ は経度、ω_E は地球自転角速度。 これを時間微分すれば、距離変化率に1日周期の正弦が現れる。

振幅が赤緯を、位相が赤経を与える。これがドップラから角度が出る仕組みである。

この最後の一文が、ΔDOR（第2.4章）が存在する理由である。 ドップラの角度情報は1日周期の系統誤差と縮退している。 ΔDORは幾何を直接測るので、この縮退から独立に横方向を拘束できる。 両者は競合ではなく、相補である。

2.3.7 3-way運用と局間バイアス

送信局と受信局が別の局である配置を3-wayと呼ぶ。可視時間の切れ目をまたいで 連続的に追跡できるという運用上の利点があるが、観測量としては性質が変わる。

2-wayでは送受が同一の周波数標準を共有するため、基準の揺らぎは共通で相殺される。 3-wayでは2台の独立な周波数標準の差が観測量に直接乗る。 両局の標準の相対オフセットを Δf/f = ε とすると、距離変化率に

のバイアスが現れる。ε = 10⁻¹³ でも b = 15 µm/s であり、 2-wayの精度（0.3 µm/s）の50倍にあたる。3-wayドップラはバイアスを推定パラメータに入れて使うのが原則で、 入れずに2-wayと同じ重みで混ぜると軌道が引っ張られる。

局間の時刻・周波数を高精度で結んでおけば ε は小さくできる。 その手段（GNSS共通視、TWSTFT、光ファイバ分配）は姉妹書『地上局工学』第5部で扱う。

2.3.8 相対論的な効き方

ドップラは搬送波位相を測っているので、相対論は「補正」ではなく定義の一部として入る。 効く経路は3つある。

• 二次のドップラ（時間の遅れ）: 送受信端の速度による固有時の進み方の差。 地上局は地球自転と公転で動き、探査機も動く。一次項に対して (v/c) 倍の大きさ。
• 重力赤方偏移: 局と探査機のポテンシャルの差。太陽ポテンシャル中を移動すると効く。
• Shapiro遅延の時間変化: 経路が太陽に近づく／遠ざかると、重力遅延そのものが変化し、 それが距離変化率として観測される。合の前後で急激に効く。

いずれも第3.4章で定量的に扱う。ここで押さえるべきは、 µm/s級の観測量に対して相対論は「効くか効かないか」ではなく「必ず入れる」項であるということである。

2.3.9 ドップラ残差の顔

実務の勘所は「同じ周期がレンジ残差にも出ているか」を必ず見ることである。 両方に出るなら幾何・座標系・局位置を疑い、ドップラだけなら周波数標準側を疑う。 群遅延と位相遅延は分散性媒質で符号が逆になるので（第2.2.9）、 符号の関係も切り分けの手がかりになる。

2.3.10 偏微分 — 第4部へ渡す

ドップラ観測量は経路長の差だから、偏微分も差の形になる。

幾何項については ∂S/∂r_sc ≈ 2û だから、 両端の視線方向の差が効く。パスのあいだに û がどれだけ回るかが情報量を決める、 という第2.3.6の議論がここに現れる。速度に対する偏微分は状態遷移行列を通じて入る（第2.7章）。

第2.4章ΔDOR観測方程式

2.4.1 出発点 — VLBI観測量としての群遅延

離れた2局で同じ電波源を同時に受信する。到来方向の単位ベクトルを ŝ、 2局を結ぶベクトル（ベースライン）を B とすると、両局への到達時刻には差が生じる。

この τ を群遅延という。ベースラインの向きは既知（局位置は測量されている）だから、 τ を測れば ŝ の、ベースライン方向成分が決まる。 これは角度の直接測定である——距離でも速度でもなく、天球上の方向そのものを測っている。

局から見た角度誤差は、遅延誤差をベースラインの投影長で割った形になる。

B_proj は電波源方向に直交する成分（有効ベースライン）である。 式の形が示すとおり、長いベースラインほど角度精度がよい。 これが後で日本の事情として効いてくる（2.4.8）。

2.4.2 なぜ差分をとるのか — DOR から ΔDOR へ

探査機の群遅延 τ_sc を単独で測る（DOR: Differential One-way Ranging）だけでは精度が出ない。 τ_sc には測りたい幾何以外のものが山ほど乗っているからである。

そこで、探査機とほぼ同じ方向にある電波源を直後に観測し、同じ量を測る。

2つの差をとる。これがΔDORである。

何が消えたかを整理しておく。

「差分で消す」ことが本質であり、それが成立する条件は「同じものを通す」ことである。 だから較正天体は探査機に角度的に近くなければならず（2.4.6）、 切り替えは大気が変わらないうちに済ませなければならない（2.4.7）。 この二つの制約が、ΔDOR運用のほぼすべてを規定している。

2.4.3 帯域合成 — 遅延分解能はどこから来るか

群遅延を精密に測るには、広い周波数範囲にわたって位相を測る必要がある。 位相の周波数微分が群遅延だからである。

2点の周波数 f_1, f_2 で位相を測れば τ ≈ Δφ/(2πΔf) となり、 Δf（スパンド帯域幅）が大きいほど遅延が細かく決まる。 ここで前章までと同じ位相誤差の式が効いてくる。

B_rms はスパンド帯域の中心まわりの実効的な広がり（rms帯域幅）である。

探査機側は、搬送波の両側にDORトーンと呼ぶ側波帯を意図的に立てる。 トーン間隔を広く取るほど精度がよいが、 間隔が広いと位相のあいまいさ（2π の整数倍）が生じる。 そこで狭い間隔のトーン（あいまいさなし・低精度）と広い間隔のトーン（高精度・あいまいあり）を 階層的に使い、粗い解で細かい解のあいまいさを解く。 測距でクロックと成分符号が役割分担していたのと、まったく同じ構造である。

クオーサは自然の広帯域雑音源なので、受信帯域を離散的に複数チャネル配置して 同様に帯域合成する。合成の設計（チャネル配置）が遅延分解能を決めるので、 チャネルは等間隔ではなく、あいまい解決と分解能を両立するように配置する。

2.4.4 角度精度と要求S/N

2.4.1と2.4.3を合わせると、ΔDORの角度精度が閉じた形で書ける。

逆に解けば、目標角度精度に対する要求S/Nが出る。

実際には探査機側だけでなくクオーサ側のS/Nも効く。 クオーサは弱い（0.1〜数 Jy）ので、多くの場合クオーサ側が精度を律速する。 合成した遅延誤差は

となり、σ_sys（差分後に残る系統誤差）が数十psのオーダーで下限を作る。 探査機側をいくら強くしても、クオーサと系統誤差の壁で止まる。

2.4.5 誤差予算

この表の読み方で大事なのは、上4行は運用設計で動かせるが、下4行は動かしにくいということである。 積分時間を延ばして熱雑音を下げても、対流圏残差と局位置誤差の床に当たれば止まる。 「もう一段精度を上げたい」となったときにどこを攻めるかは、この表を自分の数字で埋めて決める。

2.4.6 較正天体の選び方 — ICRF3から探す

ΔDOR運用の準備で最も手間がかかるのが、較正天体（クオーサ）の選定である。 条件は4つある。

• 離角が小さいこと。探査機の見かけ位置から数度以内。離角に比例して対流圏・電離層・ 局位置の差分残差が増えるので、近いほどよい。実務上は10度以内、できれば数度以内を狙う
• 十分明るいこと。観測周波数帯（X帯・Ka帯）でのフラックスが要る。 低周波で明るくても高周波で暗い天体があるので、使う帯域での値を見る
• 位置精度がよいこと。ICRF3のカタログ位置誤差がそのまま系統誤差になる
• 構造が小さいこと。ジェット構造を持つ天体は、ベースライン方向によって 見かけの位置がずれる。構造指数の小さい天体を選ぶ

この4条件を同時に満たす天体は多くない。しかも探査機は動くので、 ミッション期間を通じた較正天体のスケジュールを事前に作っておく必要がある。 軌道が変わるたびに作り直しになるのが、この作業の面倒なところである。

2.4.7 スイッチングサイクルの設計

探査機とクオーサを交互に観測する。1周期の時間配分が設計変数になる。

周期を決めるのは大気のコヒーレンス時間である。対流圏の湿潤成分は数分のスケールで変化するので、 これより長い周期で切り替えると、差分で消えるはずの大気が消えなくなる。 一方で周期を短くすると、アンテナのスルー（回転）時間の割合が増えて実効積分時間が減る。

典型的には数分周期。大口径局はスルーが遅いので不利になる。 「大きい局のほうが常に良い」わけではないのがΔDORの面白いところで、 感度（大口径有利）とスルー速度（小口径有利）のトレードがある。

セッション全体は数十分から1時間程度。ベースラインの向きが地球自転で回るので、 長く続ければ2次元の角度が決まる方向に近づくが、 通常は1セッション＝1ベースライン＝1方向成分と考えるのが安全である。 2次元を決めたければ、直交に近いベースラインでもう1セッション打つ。

2.4.8 ベースライン事情 — 日本でΔDORをやるということ

σ_θ = c σ_τ/B_proj は残酷な式である。ベースラインが10分の1なら角度精度も10分の1になる。

国内の深宇宙局同士では、この式が厳しく効く。臼田と美笹は同一構内に近く、 ベースラインはほぼゼロで、ΔDORのベースラインとしては使えない。 臼田と内之浦を結んでも、緯度差・経度差から計算すれば1000 km を切る。

したがって日本が高精度ΔDORを行うには、次のいずれかを取ることになる。

• 国内VLBI網の活用。天文観測用のVLBI網は日本列島を縦に使うので、 深宇宙局同士よりずっと長いベースラインが得られる。ただし周波数帯・受信系・ スケジュール調整という別の課題が入る
• 国際相互支援。海外機関の局とペアを組めば大陸間ベースラインになる。 精度は最良だが、調整・費用・スケジュールの制約を受ける（姉妹書『地上局工学』第7.5章）
• ΔDORに頼らない設計。ドップラの1日周期署名（第2.3.6）と光学航法（第2.5章）で 横方向を押さえ、ΔDORは要所だけに使う

どれを選ぶかは、ミッションの横方向要求から逆算して決める。 「ΔDORをやるかどうか」ではなく「何 nrad が要るのか」から入るのが正しい順序である。 その計算は第4.8章（可観測性）と第5.1章（追跡計画）で扱う。

2.4.9 データの流れと標準形式

ΔDORは局で完結しない。両局で記録した生データを持ち寄って相関処理し、 そこで初めて遅延が得られる。したがって運用の流れは他の観測量と大きく違う。

この流れの各段階でフォーマットの取り決めが要る。 とくに国際協力でΔDORを行う場合、記録フォーマットとメタデータが合っていないと 相関処理そのものができない。CCSDSはΔDORの生データ交換形式を標準化しており、 これに従うことで機関をまたいだ相関処理が可能になる。

最終的な Δτ は追跡データメッセージ（TDM）の観測量として軌道決定へ渡る（第5.5章）。 TDMにはΔDOR観測量のためのキーワードが用意されており、 較正天体の識別子・ベースラインを構成した局・スパンド帯域などのメタデータを添えて渡す。 このメタデータが欠けると、受け取った側は観測量を正しくモデル化できない。

2.4.10 Same-Beam Interferometry — 2機を同時に見る

2機の探査機が同じ天体を回っていて、地上局から見て同一ビーム内に入る場合、 クオーサではなく相手の探査機を較正源にできる。これがSBI（Same-Beam Interferometry）である。

離角が極めて小さい（ビーム幅の中）ので、大気も局位置も機器もほぼ完全に共通になり、 差分後の系統誤差はΔDORよりさらに小さくなる。得られるのは2機の相対角度位置なので、 編隊や、周回機と着陸機の相対位置決定に強い。

制約は明快で、2機が同時に同一ビーム内にいなければ成立しない。 火星や月のように複数機が集まる天体でのみ使える手法である。

2.4.11 偏微分と、他の観測量との組み合わせ

Δτ の探査機位置に対する偏微分は、ベースラインを視線に直交する面へ射影したものになる。

B_⊥ はベースラインの視線直交成分。レンジ（û方向）とは直交する方向に効くことが式から読める。 これが「レンジ＋ドップラ＋ΔDORで3次元が決まる」ことの数学的な内容である。

第4.8章で情報行列を組むと、この相補性が定量的に見える。 レンジのみ／レンジ＋ドップラ／＋ΔDOR と積み上げたときに 共分散行列の各方向がどう縮むかを見ておくと、追跡計画の判断が速くなる。

第5.1章追跡スケジュールの設計 — いつRARRを取り、いつΔDORを打つか

5.1.1 RARRとは何を指すか

RARR（Range And Range Rate）は、レンジとドップラを組にして取る標準的な追跡モードを指す。 現場では「今日のパスはRARRあり」「このパスはドップラのみ」という言い方をする。 レンジを打つかどうかが運用上の選択肢になるのは、第2.2.6で見たとおり レンジ変調が搬送波とテレメトリから電力を奪うからである。

したがって追跡計画の最小単位は「1パスで何を取るか」であり、 その選択肢は概ね次の4つになる。

5.1.2 1パスの中の時間割

1パスは概ね次の順序で進む。ここで重要なのは、 使える時間の全部が観測に使えるわけではないということである。

時間を食うのは2箇所である。

往復光時間による待ち。上りを掃引して機上のPLLがロックしたかどうかは、 RTLTが経過するまで地上では分からない。火星なら20〜40分、外惑星なら数時間。 仰角10度以上の可視が6時間しかないパスで、RTLTが2時間なら、 2-way観測ができるのは実質4時間である。この待ちは短縮できない。

測距の捕捉時間。第2.2.8で見たとおり、成分符号ごとの位相推定に時間がかかる。 弱いリンクでT4B符号を使えば数分から十数分。 パスの終わり際に測距を始めても、捕捉が終わる前にLOSになる。

5.1.3 いつレンジを取るか — 幾何から決める

レンジは視線方向しか拘束しない（第2.2.11）。したがって 視線方向が変わったところで取り直すことに価値がある。 同じ幾何で何点取っても、情報は雑音の平均化ぶんしか増えない。

視線方向が有意に変わるのは次の3つの時間スケールである。

• 1パス内（数時間）: 地球自転で局が動く。第2.3.6の署名と同じ幾何。 パスの前半と後半で最低2点は欲しい
• 日単位: 地球自転が一巡し、かつ探査機が動く。異なる時間帯のパスを混ぜると効く
• 週〜月単位: 地球公転と探査機の軌道運動。これが最も大きく幾何を変える

実務的な出発点としては、巡航中は週2〜3回のRARRパス、 イベント前は毎日、というのが一つの目安になる。 ただしこれは目安であって、正しくは第4.8章の情報行列で決める。 「週2回で足りるか」は、要求精度と力学モデル誤差を入れて共分散を伝播すれば答えが出る。

5.1.4 いつΔDORを打つか

ΔDORは高価である。2局を同時に占有し、較正天体のスケジュールを組み、 生データを転送して相関処理する。したがって効くところに絞って打つ。

効くのは、横方向誤差が運用判断を左右する場面である。具体的には次の5つ。

逆に、巡航中の平常時にΔDORを打っても費用対効果は低い。 横方向誤差がゆっくり成長しているだけの期間なら、 ドップラの1日周期署名（第2.3.6）が押さえてくれる範囲で足りることが多い。

1セッションで決まるのは1方向成分だけ（第2.4.7）である点にも注意がいる。 2次元の横方向を押さえたいなら、方向の異なるベースラインで2セッションを組む。 これは「同じ局ペアで時間をずらす」（地球自転でベースラインの向きが回る）か、 「別の局ペアを使う」かのどちらかになる。

5.1.5 フェーズごとの追跡計画

5.1.6 RARRの結果は、軌道決定にどう化けるか

ここが本章で最も重要な節である。「レンジを1点取ると軌道がどれだけ良くなるのか」に 定量的に答えられるようにする。

第4.2章で見たとおり、観測を1点加えることは情報行列に1項を加えることである。

この式から3つのことが読める。

① 効くのは σ ではなく 1/σ²。精度が2倍の観測量は、情報としては4倍の価値がある。 逆に言えば、精度の悪い観測量をたくさん足しても、良い観測量1点に及ばないことがある。

② 効くのは H の向き。H が既に良く決まっている方向を向いていれば、 その観測はほとんど情報を足さない。幾何が変わらないうちに何点取っても無駄というのは、 この式の直接の帰結である。

③ Λ_0（事前情報）と競合する。既に精度が高い状態では、 新しい観測1点の寄与は相対的に小さくなる。収束したあとは頻度を落としてよい。

ではドップラはどうか。ドップラ1点も視線方向（の変化率）を測るが、 第2.3.6の署名により1パス分を積み上げると横方向にも効く。 ただしその効き方は「1日周期の正弦の振幅と位相」という形なので、 パスの一部だけでは分離できない。ドップラは点で効くのではなく、 パス全体の形で効く観測量である。

ΔDORは1セッションで横方向を直接叩く。例2.4-1の2.2 nradは、 1 auで330 m。上の例で横方向5 kmだったものが、1セッションで330 mになる。 ドップラを何週間積んでも届かない領域に、1回で到達する。

5.1.7 観測が軌道決定を通って予報になるまで

取った観測量が運用に返るまでの一巡を、時間つきで押さえておく。

この一巡にかかる時間が、追跡計画の設計に効いてくる。 たとえば「TCMの2日前までに軌道を確定したい」なら、 その一巡の時間を逆算して最後のパスをいつに置くかが決まる。 前処理と軌道決定に半日、レビューに半日、予報生成と配布に半日かかるなら、 最終パスはTCMの3日半前に置かなければ間に合わない。

予報の側にも有効期限がある。予報位置誤差が大きくなると、 局のアンテナ指向が外れ、上り掃引の範囲が足りなくなる（第5.4章）。 「何日ごとに予報を更新するか」は、予報誤差の成長率から決まる。 この計算も共分散伝播（第4.6章）でできる。

5.1.8 局への要求の書き方

追跡計画は最終的に局への要求として文書になる。技術者として書くべき項目は次のとおり。

• いつ: 期間、パス数、1パスの長さ、優先度
• どの局: 局の指定、ΔDORなら局ペアと組む時間帯
• 何を取るか: ドップラ（計数区間の指定を含む）、レンジ（符号系・チップレート）、ΔDOR
• 制約: 最低仰角、測距開始の目安時刻、テレメトリレートとの優先関係
• 根拠: なぜその頻度・その局・そのタイミングなのか

最後の「根拠」が本章の主題である。局の時間は有限で、他ミッションと取り合いになる （姉妹書『地上局工学』第7.1章）。 「要りそうだから」では通らず、「これを削るとB平面誤差が○km増え、TCMのΔVが○m/s増える」と言えれば通る。 共分散解析はそのための道具でもある。

5.1.9 資源競合と折り合い

要求どおりのパスが取れないことは日常的に起きる。そのときに何を諦めるかの優先順位を、 あらかじめ決めておくのが実務である。

ここでも判断の根拠は共分散である。「取れなかった場合にどうなるか」を事前に計算しておけば、 交渉の場で即答できる。これは技術の問題であると同時に、組織の中で仕事を通す技術でもある。

第5.5章追跡データと航法データの標準形式 — TDM・OEM・TLE

5.5.1 なぜ形式で事故が起きるのか

観測量の数値そのものは単純な浮動小数点である。事故はいつも周辺で起きる。

• 時刻タグが送信時刻なのか受信時刻なのか
• ドップラの時刻が計数区間の開始・中央・終了のどれか
• レンジの単位が km なのか秒なのか RU（レンジユニット）なのか
• すでに適用済みの補正はどれで、まだ適用していない補正はどれか
• 参照系が ICRF なのか J2000 なのか EME2000 なのか、中心天体は何か

これらはすべてメタデータで定義される。数値だけ受け取っても観測方程式は組めない。 標準形式の価値は、この定義の受け渡しを取り決めた点にある。

5.5.2 TDM — 追跡データメッセージ

TDM（CCSDS 503.0-B系）は、局が生成した観測量を運ぶ形式である。 構造は3層になっている。

メタデータブロックは複数置ける。局が変わる、モードが変わる、といった区切りごとに 新しいメタデータを置いて定義を切り替える。

軌道決定側が必ず確認すべきメタデータを挙げる。

ΔDORもTDMで運ばれる。この場合、較正天体の識別子、ベースラインを構成した局、 スパンド帯域といったメタデータが不可欠になる。第2.4.9で述べたとおり、 これらが欠けると受け取った側は観測量をモデル化できない。

5.5.3 ODM — 軌道データメッセージ

軌道の側にも標準形式がある。用途によって4種類が使い分けられる。

深宇宙の実務で最もよく使うのはOEMである。中身は時刻・位置・速度の表であり、 使う側は補間して任意時刻の状態を得る。ここで見落とされやすいのが次の3点。

① INTERPOLATION と INTERPOLATION_DEGREE。 OEMは「この点列をこの方式・この次数で補間せよ」という指示を含む。 指示を無視して線形補間すれば、点間隔と軌道の曲がり方によっては キロメートル級の誤差が入る。第5.8章のSTKに読み込ませるときも同じである。

② REF_FRAME と TIME_SYSTEM。 参照系（ICRF / EME2000 / ITRF …）と時系（UTC / TAI / TT / TDB）は必ず確認する。 時系を1つ間違えると、TAIとUTCの差だけで数十秒、探査機速度30 km/sなら 1000 km級の位置誤差になる。

③ CENTER_NAME。中心天体が地球か太陽系重心か対象天体かで、 同じ数値がまったく別の意味になる。惑星到達前後で中心を切り替える運用では、 この取り違えが起きやすい。

5.5.4 TLE — 使ってよい場面と、使ってはいけない場面

TLE（Two-Line Element set）は地球周回物体の軌道を2行のテキストで表す形式である。 広く流通しているため深宇宙の現場でも目にするが、性質を誤解したまま使うと必ず事故になる。

最も重要な事実は次の一点に尽きる。

TLEの離心率や軌道傾斜角を「軌道要素」として読み取り、 第1.1章の変換式で状態ベクトルに直して数値積分する——これは典型的な誤りである。 SGP4の平均要素は短周期項が特定の方法で除去されており、 瞬時要素とは数十km相当の差がある。正しい手順は 「TLE → SGP4で伝播 → 得られた状態ベクトル → そこから先は自分の伝播器」である。

精度についても正しい期待値を持っておく。

深宇宙探査機にTLEは使えない。SGP4/SDP4は地球中心の摂動理論であり、 太陽中心の軌道や惑星間軌道を表現できない。深宇宙ではOEMかSPICEカーネルを使う。

ではTLEをいつ使うか。深宇宙ミッションの文脈では次の2つである。

• 打上げ直後の地球周回フェーズ。パーキング軌道にいる間は地球周回物体であり、 外部からの追跡情報（軌道上物体カタログ）がTLEで得られることがある。 初期の粗い状況把握には使える
• 接近解析・干渉回避。他の地球周回物体との位置関係を見るとき。 ただし共分散がないので、衝突確率の厳密な評価には向かない

OMMを使えばTLEと同じ内容を標準形式で運べ、しかも 「どの理論で伝播すべきか」を明示できる。新規に設計するインタフェースでは、 生のTLEではなくOMMを使うべきである。

5.5.5 SPICE — 深宇宙の事実上の標準

惑星暦と探査機軌道の受け渡しでは、CCSDS形式よりSPICEカーネルのほうが 実務上よく使われる。天体位置・探査機軌道・姿勢・機器の視野・時刻変換・ 基準系定義が一つの体系にまとまっており、座標系と時系の取り違えが構造的に起きにくいのが強みである。

OEMとSPICEは相互に変換できる。使い分けの目安は次のとおり。

• OEM: 機関間の公式な受け渡し、契約的な意味を持つ配布、人が読める必要があるとき
• SPICE: 解析・可視化・機器チームとの共有、天体位置や姿勢と一緒に扱うとき

5.5.6 相互運用でよくある不整合

この表の使い方は「ずれ量から原因を逆算する」ことである。 残差の大きさが、うるう秒・RTLT・T_c/2・換算係数のどれかと一致すれば、 それが原因である可能性が高い。物理を疑う前に、まずここを潰す。

5.5.7 自機関フォーマットとの変換

多くの機関は独自の内部形式を持っている。標準形式との変換器を書くときの原則は3つ。

① 往復変換で不変であること。内部形式 → TDM → 内部形式 で ビット単位に戻るか（浮動小数点の丸めを除いて）を自動試験にする。 戻らないなら、どこかで情報が落ちている。

② メタデータを捨てないこと。内部形式に対応する欄がないメタデータを 黙って捨てるのが最も危険な実装である。対応がないなら、変換を失敗させるほうがよい。

③ 既知の軌道で残差を見ること。変換器を作ったら、 既に軌道が確定している期間のデータを通し、残差が変わらないことを確認する。 これが唯一の実質的な検証である。

第5.8章STKによる軌道計算と可視解析

5.8.1 データモデル — 何が何を持っているか

STKはオブジェクトの階層でシナリオを表現する。最低限押さえるのは次の対応である。

ここで意識しておくべきは、「伝播（軌道を作る）」と「解析（作った軌道から量を計算する）」が 分離されているという設計である。伝播が間違っていれば解析結果はすべて間違うが、 解析側は何も警告しない。したがって検算は必ず伝播の段階で行う。

5.8.2 伝播器の選択 — 深宇宙で使えるものは限られる

ここが最大の分岐点である。伝播器の選択を誤ると、以降の作業がすべて無意味になる。

実務での使い分けは単純である。 これから作る軌道を設計するなら Astrogator、 すでに軌道決定で確定した軌道を使うなら SPICE か外部エフェメリス取り込み。 HPOPを深宇宙で直接使うのは、感度解析や検討段階に限られる。

5.8.3 中心天体と参照系 — 最大の事故源

STKの既定の中心天体は地球である。惑星間軌道をそのまま地球中心で扱おうとすると、 「地球の重力圏をはるかに超えた双曲線軌道」を延々と積分することになり、 結果は物理的に無意味になる。

正しくは、フェーズに応じて中心天体を切り替える。

Astrogatorでは Mission Control Sequence の中で中心天体を切り替えられる。 切り替え点は影響圏（第1.4.2）の内外で選ぶが、 切り替えの前後で状態ベクトルが連続していることを必ず確認する。 ここで座標変換を誤ると、数千km級の跳びが入る。

参照系も同様に注意がいる。ICRF・J2000・EME2000・各天体の慣性系・各天体の固定系。 OEMやSPICEから取り込むときは、ファイルに書かれた参照系とSTK側の設定が一致しているかを 毎回確認すること。この確認を省略した結果として起きる誤差は、 「なんとなく合わない」という形で現れるので気づきにくい。

5.8.4 力学モデルの設定 — 第1部との対応

HPOP / Astrogator の力学モデル設定画面は、本書第1部の目次とほぼ一対一に対応する。

5.8.5 Access — 可視解析と拘束条件

局と探査機の可視区間を求めるのがAccessである。深宇宙の運用計画では最も使う機能だが、 既定の設定では実運用の可視と一致しない。拘束条件を明示的に入れる必要がある。

Accessの出力（AERレポート: Azimuth / Elevation / Range）は、 局への指向予報の元データにもなる。ただしSTKのAERをそのまま局に渡してはいけない。 局が必要とするのは光行時間を考慮した指向（電波が出発した時刻の方向ではなく、 いま電波が来ている方向）であり、局固有の指向モデル（『地上局工学』第2.3章）も要る。 第5.4章で扱う予報生成は、STKの出力を出発点にして別途組む作業である。

5.8.6 Astrogator — マヌーバとターゲッティング

Astrogatorは Mission Control Sequence（MCS）という一連のセグメントで軌道を組み立てる。

実務で効くのは Target Sequence である。 「このΔVを調整して、目標天体到達時のB平面座標を指定値にする」といった 逆問題を、差分修正法（differential corrector）で解く。

ここで本書第5.3章（B平面）とつながる。TCMの設計とは、まさに 「B平面上の目標点に到達するΔVを求める」ことだからである。 Astrogatorの Target Sequence は次の3要素で構成される。

• 制御変数（Control）: 調整するもの。ΔVの大きさ・方向、点火時刻
• 拘束（Constraint）: 満たすべきもの。B·R、B·T、到達時刻、近点高度
• 収束条件: 許容誤差と最大反復回数

差分修正法は数値微分でヤコビアンを作って反復する。 収束しないときの原因はほぼ決まっているので、順に潰す。

5.8.7 外部軌道の取り込みと書き出し

運用中は、軌道決定の結果（OEM / SPICE）をSTKに読み込んで解析するのが基本形になる。 STKで伝播した軌道を運用に使うことは、通常はしない。正解は軌道決定側にあるからである。

取り込み時の注意は第5.5.3で述べたとおりで、参照系・時系・中心天体・補間次数の4点。 とくに補間次数を指定どおりに設定すること。STKは既定の補間次数を持っているので、 OEMの指定と食い違ったまま読み込まれることがある。

書き出しでは、渡す相手が何を期待しているかを確認する。 「STKからエクスポートしました」だけでは受け取る側が困る。 参照系・時系・中心天体・エポック間隔・補間次数を添えて渡すのが最低限である。

5.8.8 自動化 — GUIから抜け出す

可視解析を1回やるだけならGUIでよい。しかし 「追跡計画案を10通り作って比較する」「毎日の予報を自動生成する」 「較正天体を全期間分探索する」といった作業は、必ず自動化する。

STKは外部からの制御インタフェース（Connect コマンド、オブジェクトモデル、 Pythonバインディング）を持つ。設計の指針は次の2つ。

① シナリオをコードで組み立てる。GUIで作ったシナリオをコードで叩くのではなく、 シナリオそのものをコードから作る。そうすれば設定が全部テキストとして残り、 差分が取れ、レビューでき、再現できる。

② 出力は必ずファイルへ落とす。画面で見て判断するのではなく、 レポートをCSV等で吐かせて、比較・可視化は別の道具でやる。 STKを「計算機」として使い、「判断の場」にはしない。

5.8.9 STKを信用してよい範囲 — 検算の作法

本章で最も伝えたいのはここである。「STKがそう言った」は根拠にならない。 設定が間違っていれば、もっともらしい間違った答えが出る。しかも警告は出ない。

最低限やるべき検算を4つ挙げる。

① 二体問題との比較。摂動をすべて切って TwoBody で伝播し、 閉形式の解（第1.1章）と一致するか確認する。これで時系・単位・参照系の基本的な設定が検証できる。

② 保存量の確認。摂動なしなら軌道エネルギーと角運動量は保存する。 1周期積分して保存量がどれだけ変化するかを見れば、積分器の許容誤差設定が適切かが分かる。 相対変化が10⁻¹⁰を超えるようなら設定が緩い。

③ 独立実装との突き合わせ。可視解析（仰角）、光行時間、 ドップラの一次項あたりは、自分で数十行書けば計算できる。 第2部の式をそのまま実装して比較する。これが最も効く検算である。

④ 既知の事実との照合。近点通過時刻、食の時刻、既知のマヌーバ時刻が 想定どおりの時刻に現れるか。物理的に意味のあるイベントで確かめる。